Общи форми...

[alexander_ivanov]

Както се е видяло, при мен темите ми идват докато решавам задачи.Първото, на което се замислиш беше:
Има ли обща форма зa:
[tex]a^0+a^1+a^2+...+a^n[/tex],където [tex]a\in \mathbb{Q}, n\in \mathbb{N}[/tex]
тук с малко изписване открих че:
[tex]a^0+a^1+a^2+...+a^n=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}[/tex]
но не мога да го докажа...
След това се замислих върху:
Има ли обща форма зa:
[tex]1^k+2^k+3^k+...+n^k[/tex],където [tex]k,n\in \mathbb{N}[/tex]
това си нямам никаква идея как ще стане но тук сме да се забавляваме със задачи нали така

[ptj]

Първото е формула за съкратено умножение.
Ако ти трябва доказателсво - освободи се от знаменателя, а после разкрий скобите.

[strangerforever]

Или:

[tex]a^0+a^1+a^2+...+a^n=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}[/tex]

За [tex]n = 1[/tex] е изпълнено.

Допускаме, че е вярно за [tex]n = k \in N \Leftrightarrow a^0 + a^1 + a^2+...+a^k = \frac{a^{k+1}-1}{a-1}[/tex]

Ще докажем, че е вярно за [tex](k+1)[/tex]:

[tex]a^0 + a^1 + a^2+...+a^k + a^{k+1} = \frac{a^{k+2}-1}{a-1}[/tex]

[tex]\frac{a^{k+1}-1}{a-1} + a^{k+1} = \frac{a^{k+2}-1}{a-1}[/tex]

[tex]a^{k+1} - 1 + a^{k+1}.(a-1) = a^{k+2} - 1[/tex]

[tex]a + a(a-1) = a^2[/tex]

[tex]0 = 0[/tex]

От ТПМИ твърдението е вярно.

[tex]a \ne 1[/tex]. И защо не [tex]n \in N_{0}[/tex]?

[alexander_ivanov]

благодаря за бързите отговори.
Но остава 2-рото нещо

[Добромир Глухаров]

[tex]S(n;k)=1^k+2^k+...+n^k[/tex]

[tex]S(n;0)=1+1+...+1=n[/tex]

[tex]S(n;1)=1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}[/tex]

[tex](n+1)^{k+1}=n^{k+1}+{k+1\choose1}n^k+{k+1\choose2}n^{k-1}+...+{k+1\choose k}n+1[/tex]

[tex]n=1\rightarrow 2^{k+1}=1^{k+1}+{k+1\choose1}1^k+{k+1\choose2}1^{k-1}+...+{k+1\choose k}1+1[/tex]

[tex]n=2\rightarrow 3^{k+1}=2^{k+1}+{k+1\choose1}2^k+{k+1\choose2}2^{k-1}+...+{k+1\choose k}2+1[/tex]

[tex]n=3\rightarrow 4^{k+1}=3^{k+1}+{k+1\choose1}3^k+{k+1\choose2}3^{k-1}+...+{k+1\choose k}3+1[/tex]

.............................................

[tex](n-1)\rightarrow n^{k+1}=(n-1)^{k+1}+{k+1\choose1}(n-1)^k+{k+1\choose2}(n-1)^{k-1}+...+{k+1\choose k}(n-1)+1[/tex]

[tex]n\rightarrow (n+1)^{k+1}=n^{k+1}+{k+1\choose 1}n^k+{k+1\choose2}n^{k-1}+...+{k+1\choose k}n+1[/tex]

Събираче почленно:

[tex](n+1)^{k+1}=1+{k+1\choose1}S(n;k)+{k+1\choose2}S(n;k-1)+...+{k+1\choose k}S(n;1)+S(n;0)[/tex]

[tex]S(n;k)=f\(n,k,S(n;k-1),S(n;k-2),...,S(n;0)\)[/tex]

[Добромир Глухаров]

Използвал съм развитие на Нютонов Бином, което може да се докаже с индукция.

[grav]

За воторото имаш, че [tex]1^k+2^k+\cdots+n^k=p(n)[/tex] където [tex]p(n)[/tex] е полином от [tex]k+1[/tex] степен, който можеш да намериш като заместиш с конкретни стойности на [tex]n[/tex], и после да докажеш по индукция, че е правилния.
Например за [tex]k=1[/tex] имаш [tex]1+2+\cdots+n=An^2+Bn+C[/tex]. Заместваш с [tex]n=1,2,3[/tex]

[tex]n=1:\quad 1=A+B+C[/tex]
[tex]n=2:\quad 1+2=4A+2B+C[/tex]
[tex]n=3:\quad 1+2+3=9A+3B+C[/tex]

от където намираш [tex]A,B,C[/tex]. И както казах по индукция доказваш, че вярно за всяко [tex]n[/tex].