Да се опрости изразът

[Aneliya]

[tex]\sqrt[6]{8x(7+4\sqrt{3}) } .\sqrt[3]{2\sqrt{6x-4}\sqrt{2x} }[/tex]

[tex]\frac{x^{2} - 1}{\sqrt[5]{x} + 1 }[/tex]

[tex]\frac{x^{-1} - a^{-1}}{a^{-1} - b(ax)^{-1} }[/tex] , ако [tex]x = \frac{1}{(a+b)^{-1} } + (\frac{a+b}{a^{2} + b^{2}})^{-1}[/tex]

[ammornil]

[tex]\sqrt[6]{8.x.(7+4.\sqrt{3})}.\sqrt[3]{2.\sqrt{6.x-4}.\sqrt{2.x}}[/tex]

[tex]=\left(2^{3}.x.(7+4.\sqrt{3})\right)^{^{\frac{1}{6}}}.\left(2.2^{^{\frac{1}{2}}}.(3.x-2)^{^{\frac{1}{2}}}.2^{^{\frac{1}{2}}}.x^{^{\frac{1}{2}}}\right)^{^{\frac{1}{3}}}=2^{^{\frac{3}{6}}}.x^{^{\frac{1}{6}}}.(7+4.\sqrt{3})^{^{\frac{1}{6}}}.2^{^{\frac{2}{3}}}.x^{^{\frac{1}{6}}}.(3.x-2)^{^{\frac{1}{6}}}=[/tex]

[tex]=2^{^{\frac{3}{6}+\frac{2}{3}}}.x^{^{\frac{2}{6}}}.\left((7+4.\sqrt{3}).(3.x-2)\right)^{^{\frac{1}{6}}}=2^{^{1\frac{1}{6}}}.x^{^{\frac{1}{3}}}.\left((7+4.\sqrt{3}).(3.x-2)\right)^{^{\frac{1}{6}}}=2.x^{^{\frac{1}{3}}}.\left(2.(7+4.\sqrt{3}).(3.x-2)\right)^{^{\frac{1}{6}}}=[/tex]

[tex]=2.\sqrt[3]{x}.\sqrt[6]{2.(7+4.\sqrt{3}).(3.x-2)}[/tex]

[ammornil]

Предварително разглеждане:
[tex]x^{^{2k+1}}+y^{^{2k+1}}=(x+y).\sum_{_{i=0}}^{^{2.k}}(-1)^{i}.x^{^{(2.k-i)}}.y^{^{i}}[/tex], [tex]k \in N[/tex]; [tex]i \in N \cup \{0\}[/tex]

От горното може да се изведе: [tex]z^{5}+1=(z+1)(z^{4}-z^{3}+z^{2}-z+1)[/tex], а ако [tex]z=\sqrt[5]{x}[/tex] получаваме
[tex](\sqrt[5]{x})^{5}+1=\left(\sqrt[5]{x}+1\right).\left((\sqrt[5]{x})^{4}-(\sqrt[5]{x})^{3}+(\sqrt[5]{x})^{2}-(\sqrt[5]{x})+1\right)=x+1[/tex]
--
[tex]\frac{x^{^{2}}-1}{\sqrt[5]{x}+1}=\frac{(x-1).(x+1)}{\sqrt[5]{x}+1}=\frac{(x-1).\cancel{\left(\sqrt[5]{x}+1\right)}.\left((\sqrt[5]{x})^{4}-(\sqrt[5]{x})^{3}+(\sqrt[5]{x})^{2}-(\sqrt[5]{x})+1\right)}{\cancel{\sqrt[5]{x}+1}}=[/tex]

[tex](x-1).\left((\sqrt[5]{x})^{4}-(\sqrt[5]{x})^{3}+(\sqrt[5]{x})^{2}-(\sqrt[5]{x})+1\right)[/tex]

[ammornil]

Да се опрости изразът [tex]\frac{x^{^{-1}}-a^{^{-1}}}{a^{^{-1}}-b.(a.x)^{^{-1}}}[/tex], ако [tex]x=\frac{1}{(a+b)^{^{-1}}}+\left( \frac{a+b}{a^{^{2}}+b^{^{2}}} \right)^{^{-1}}[/tex]

Нека поработим върху дадения за опростяване израз:

[tex]\frac{x^{^{-1}}-a^{^{-1}}}{a^{^{-1}}-b.(a.x)^{^{-1}}}=\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{a}}{\frac{1}{a}-\frac{b}{a.x}}=\frac{a-x}{\cancel{a}.\cancel{x}}.\frac{\cancel{a}.\cancel{x}}{x-b}=\frac{a-x}{x-b}[/tex]

Да опростим изразът за Х:
[tex]x=\frac{1}{(a+b)^{^{-1}}}+\left( \frac{a+b}{a^{^{2}}+b^{^{2}}} \right)^{^{-1}}=(a+b)+\frac{a^{^{2}}+b^{^{2}}}{a+b}=\frac{(a+b)^{^{2}}+a^{^{2}}+b^{^{2}}}{a+b}=\frac{a^{^{2}}+2.a.b+b^{^{2}}+a^{^{2}}+b^{^{2}}}{a+b}[/tex]

[tex]x=\frac{2.(a^{^{2}}+a.b+b^{^{2}})}{a+b}[/tex]

[tex]a-x=a-\frac{2.(a^{^{2}}+a.b+b^{^{2}})}{a+b}=\frac{a^{^{2}}+a.b-2.a^{^{2}}-2.a.b.-2.b^{^{2}}}{a+b}=(-1).\frac{a^{^{2}}+a.b+2.b^{^{2}}}{a+b}[/tex]

[tex]x-b=\frac{2.(a^{^{2}}+a.b+b^{^{2}})}{a+b}-b=\frac{2.a^{^{2}}+2.a.b+2.b^{^{2}}-a.b-b^{^{2}}}{a+b}=\frac{2.a^{^{2}}+a.b+b^{^{2}}}{a+b}[/tex]

Тогава за даденият израз ще получим:
[tex]\frac{a-x}{b-x}=(-1).\frac{a^{^{2}}+a.b+2.b^{^{2}}}{\cancel{(a+b)}}.\frac{\cancel{(a+b)}}{2.a^{^{2}}+a.b+b^{^{2}}}=-\frac{a^{^{2}}+a.b+2.b^{^{2}}}{2.a^{^{2}}+a.b+b^{^{2}}}[/tex]


===---
Само като идея, изразът за Х може да се преобразува и като:
[tex]x=2.(a^{^{2}}+a.b+b^{^{2}}).\frac{1}{a+b}=2.\frac{a^{^{3}}-b^{^{3}}}{a-b}.\frac{1}{a+b}=2.\frac{a^{^{3}}-b^{^{3}}}{a^{^{2}}-b^{^{2}}}[/tex]

[mail_dinko]

Нали може да се съкрати
[tex]\frac {a^3-b^3}{a^2-b^2}=\frac{\cancel {(a-b)}(a^2+ab+b^2)}{\cancel{(a-b)}(a+b)}[/tex]

[ammornil]

Така е, може. Затова написах "да се преобразува като", а не "да се опрости до". Показах го само защото това частно се среща и в други задачи. Например:

[tex]a^{^{3}}-b^{^{3}}-\frac{a^{^{2}}+a.b+b^{^{2}}}{a+b}=(a^{^{3}}-b^{^{3}}).\left(\frac{a^{^{2}}-b^{^{2}}-1}{a^{^{2}}-b^{^{2}}}\right)[/tex]