Виет

[ganka simeonova]

Когато корените на квадратното уравнение, получено след полагането, са отрицателни числа.

Не само.
1) Д<0 или 2) корените след полагането са отр. числа:)

[amsara]

Аз за Д<0 не го упоменах, понеже мислех, че от първия ми пост по тази задача става ясно.Там се занимавах точно с Д.Защото при отрицателна Д, още корените на квадратното, след направеното полагане, ще са имагинерни.Тогава няма и какво да се връщаме въобще на полагането.Просто трябваше да събера двете условиия в 1 пост Сори, че не го направих.

[ganka simeonova]

зад) за кои стойности на [tex]m\in R[/tex] уравнението [tex]x^4+mx^2+m^2-1=0[/tex] има три различни реални корена?

[amsara]

Тъкмо щях да ви моля за друга задача Мерси много.
Но ще се пробвам по-късно вечерта, защото след малко излизам на РД.

[mail_dinko]

Искам да попитам - аз публикувах решение в поста непосредствено след условието
някой може ли да ми каже какво правим с Д

[Mr.G{}{}Fy]

Искам да попитам - аз публикувах решение в поста непосредствено след условието
някой може ли да ми каже какво правим с Д

Нали написаха,че щом [tex]a.c \le 0 ===> D\le 0[/tex] .Остава само да провериш кога дискриминантата не е 0.

[amsara]

Ще сподели мислите си по последната задача.Но ще продължа да мисля по нея, тъй като нещо със сигурност ми убягва.Но преди това да питам, Госпожо, тази задача за 9 клас ли е?
Трябват ни 3 различни реални корена на биквадратно уравнение.
Първа мисъл - 3 реални и един имагинерен.Веднага отхвърлена обаче.
Втора мисъл, един повтарящ се корен и два различни, което прави принципно 4 реални корена, но де факто 3 различни помежду си.Тогaва уравнението трябва да е от вида [tex](x+a)^2.(x^2+bx+c)=0[/tex]
Първо гледаме при каква стойност на m D>0
Отделно ни трябва и корените на квадратното уравнение да са положителни.
[tex]y^2+my+m^2-1=0[/tex]
[tex]y_{1}+y_{2}>0 ; y_{1}.y_{2}>0 <=> -m>0; m^2-1>0[/tex]
[tex]D=m^2-4m^2+4=4-3m^2[/tex]
[tex]| 4-3m^2>0[/tex]
[tex]| m<0[/tex]
[tex]| (m+1)(m-1)>0[/tex]

=>[tex]-\frac{2\sqrt{3} }{3 } <m<-1[/tex]
Това би трябвало да е интервалът, който ни гарантира 4 реални корена.Ама дори и да е така дотук, какво трябва да направя, за да поставя условие един от тях да е повтарящ се?Ако можех да го разложа във вида [tex](x+a)^2.(x^2+bx+c)=0[/tex] щеше да е лесно, но не мога.
Ще пробвам още, това бяха нахвърлени мисли, малко хаотично.

[strangerforever]

Ще сподели мислите си по последната задача.Но ще продължа да мисля по нея, тъй като нещо със сигурност ми убягва.Но преди това да питам, Госпожо, тази задача за 9 клас ли е?
Трябват ни 3 различни реални корена на биквадратно уравнение.
Първа мисъл - 3 реални и един имагинерен.Веднага отхвърлена обаче.
Втора мисъл, един повтарящ се корен и два различни, което прави принципно 4 реални корена, но де факто 3 различни помежду си.Тогaва уравнението трябва да е от вида [tex](x+a)^2.(x^2+bx+c)=0[/tex]
Първо гледаме при каква стойност на m D>0
Отделно ни трябва и корените на квадратното уравнение да са положителни.
[tex]y^2+my+m^2-1=0[/tex]
[tex]y_{1}+y_{2}>0 ; y_{1}.y_{2}>0 <=> -m>0; m^2-1>0[/tex]
[tex]D=m^2-4m^2+4=4-3m^2[/tex]
[tex]| 4-3m^2>0[/tex]
[tex]| m<0[/tex]
[tex]| (m+1)(m-1)>0[/tex]

=>[tex]-\frac{2\sqrt{3} }{3 } <m<-1[/tex]
Това би трябвало да е интервалът, който ни гарантира 4 реални корена.Ама дори и да е така дотук, какво трябва да направя, за да поставя условие един от тях да е повтарящ се?Ако можех да го разложа във вида [tex](x+a)^2.(x^2+bx+c)=0[/tex] щеше да е лесно, но не мога.
Ще пробвам още, това бяха нахвърлени мисли, малко хаотично.

Кога уравнението y = x^2 има един двоен корен? Мисля, че ти подсказах повече от достатъчно.

[amsara]

[tex]y^2+my+m^2-1=0[/tex]
[tex]y=\frac{-m\pm\sqrt{4-3m^2} }{2 }[/tex]
При такова полагане трябва един от двата корена на квадратното да е 0,за да имаме двоен корен.Въпросът е кой от двата.
[tex]-m \pm \sqrt{4-3m^2 }=0 <=>\pm \sqrt{4-3m^2} =m[/tex]От написанат система имаме, че параметърът е отрицателен.Следователно само едно от двете уравнения има решение.
[tex]=> -\sqrt{4-3m^2}=m <=>4m^2=4 <=> m=\pm 1 =>m=-1[/tex]
[tex]| 4-3m^2>0[/tex]
[tex]| m<0[/tex]
[tex]| (m+1)(m-1)\ge 0[/tex]
[tex]-\frac{2\sqrt{3} }{3 } <m \le -1[/tex]


=>[tex]m=-1[/tex]принадлежи на интервала
Проверката показва, че при тази стойност имаме точно 3 различни корена, и трите реални.
[tex]x^4-x^2=0 <=>x^2(x-1)(x+1)=0[/tex]
=>[tex]x_{1,2}=0, x_{3}=1,x_{4}=-1[/tex]
За нещо такова ли иде реч?Сигурно е мега досадно за знаещите да ги питам, но все пак за първи път се срещам лично с параметрични биквадратни.А и не искам готово решение, пробвам се сама да го измисля.

[Mr.G{}{}Fy]

Както си положила биквадратното уравнение има корени [tex]x=\pm \sqrt{y}[/tex].Но това е само,ако [tex]y\ge 0[/tex] (ясно е,че и 2-та y трябва да не са по-малки от [tex]0[/tex],защото иначе ще имаме най-много 2 решения).Значи разглеждаме [tex]y_1,y_2\ge 0[/tex].Ако и 2-та y са по-големи от [tex]0[/tex] ще имаме 4 корена .Значи или предполагаме,че госпожа Симеонова ни будалка или трябва да помислим още малко .Какво става,ако [tex]y=0[/tex] .Тогава двете Хиксита,които ще излязат от него са равни т.е. ще излезе само 1 различен корен.2-рият y трябва да е [tex]>0[/tex] ясно е защо.
Сега гледаш кога това уравнение,което си написала след като си положила има за корени [tex]y_1=0, y_2>0 ?[/tex]
П.П. Не съм гледал изобщо решението ти,защото видях,че си правила някакви сложнички сметки.Това естествено не значи,че решението ти е грешно!

[strangerforever]

Вярно е решението, но не е нужно да разписваш корена, даже задачата се решава наум. Помисли още.

[mkmarinov]

Ако x е корен на това уравнение, -x също е корен. Т.е. корените са винаги четен брой, освен ако някое число, което съвпада с противоположното си, се окаже корен.

[amsara]

С пълното разписване и здравите сметки все пак си помагнах, за да се сетя после за по-краткото.Наум решава онзи, който има опит.На мен тези задачи са ми съвсем нови.
Отдавна yточнихме, че трябва да имаме един повтарящ се корен и два различни.
[tex]y^2+my+m^2-1=0[/tex]
[tex]=>y_{1}=0; y_{2}>0[/tex]
[tex]y_{1}+y_{2}=-m <=> 0+y_{2}=-m <=> y_{2}=-m => m<0[/tex]
[tex]y_{1}.y_{2}=m^2-1 <=> 0.(-m) = m^2-1 <=>(m-1)(m+1)=0; m=\pm 1[/tex]
[tex]m<0 =>m=-1[/tex]

[Mr.G{}{}Fy]

Трябва да напишеш само за дискриминантата нещо си ... Но то е ясно,че това е единственото решение