Тези уравнения

[strangerforever]

[tex]DM: a\ne 0[/tex] - иначе няма да е квадратно

Защо реши, че е задължително да е квадратно?

[mail_dinko]

ами не знам честно казано, просто веднъж някъде бях видял, че като се решават задачи от типа m=? : да е изпълнено ... параметър пред най-високата степен да е различен от нула
иначе в училище моята госпожа не ни е карала да го пишем (ние сме решавали само с два корена с еднакви (или различни) знаци, двукратен, няма реални корени)- в системата включвахме само Д, сбор (където може, защото при различни знаци не знам знака на сбора) и произведение

[mona]

ако може лесно и подробно обяснение на тази задача

[tex]x^4 - (2k+1)x^2[/tex] + [tex]k^2 + k[/tex] =0

a) k=1
b)k=? x=-2
c) k=? 4 [tex]\ne[/tex] реални корена

[mail_dinko]

а) Заместваш с [tex]k=1[/tex]
[tex]x^4-(2k+1)x^2+k^2+k=0[/tex]
[tex]x^4-(2.1+1)x^2+1^2+1=0[/tex]
[tex]x^4-3x^2+2=0[/tex]
Полагаме [tex]x^2=t>0[/tex]
[tex]t^2-3t+2=0[/tex]
[tex]D=9-8=1=1^2[/tex]
[tex]t_{1,2}=\frac {3\pm 1}{2}[/tex]
[tex]t_1=2[/tex]
[tex]t_2=1[/tex]
[tex]x^2=t_1=2[/tex]
[tex]x_{1,2}= \pm\sqrt{2}[/tex]
[tex]x^2=t_2=1[/tex]
[tex]x_{3,4}= \pm\sqrt{1}= \pm 1[/tex]

б) Заместваш с [tex]x=-2[/tex]
[tex]x^4-(2k+1)x^2+k^2+k=0[/tex]
[tex](-2)^4-(2k+1).(-2)^2+k^2+k=0[/tex]
[tex]16-8k-4+k^2+k=0[/tex]
[tex]k^2-7k+12=0[/tex]
[tex]D=49-48=1[/tex]
[tex]k_1=\frac{7+1}{ 2} =4[/tex]
[tex]k_1=\frac{7-1}{ 2} =3[/tex]

в) Не съм много сигурен, но мисля, че дискриминантата трябва да е по-голяма от нула, за друго условие не знам, но може и да има
[tex]x^4-(2k+1)x^2+k^2+k=0[/tex]
[tex]a=1[/tex]
[tex]b=-(2k+1)[/tex]
[tex]c=k^2+k[/tex]
[tex]D=4k^2+4k+1-k^2-k=3k^2+3k+1[/tex]
[tex]3k^2+3k+1>0[/tex]
[tex]D=9-12<0[/tex]
Когато коефициента пред най-високата степен на квадратния тричлен е положителен, а дискриминантата е отрицателна, то тричленът има положителна стойност за всяко [tex]k[/tex], т.е. [tex]k\in (-\infty ;\infty )[/tex]

[stflyfisher]

в) Не съм много сигурен, но мисля, че дискриминантата трябва да е по-голяма от нула, за друго условие не знам, но може и да има
[tex]x^4-(2k+1)x^2+k^2+k=0[/tex]
[tex]a=1[/tex]
[tex]b=-(2k+1)[/tex]
[tex]c=k^2+k[/tex]
[tex]D=4k^2+4k+1-k^2-k=3k^2+3k+1[/tex]
[tex]3k^2+3k+1>0[/tex]
[tex]D=9-12<0[/tex]
Когато коефициента пред най-високата степен на квадратния тричлен е положителен, а дискриминантата е отрицателна, то тричленът има положителна стойност за всяко [tex]k[/tex], т.е. [tex]k\in (-\infty ;\infty )[/tex]

Ле-ле-ле. Дискриминанта на биквадратно уравнение И извода за съществуването на 4-те различна корена не пада по-долу.

п.п. Не че полиномите от по-висока степен нямат дискринанта, но това е за друг под форум.

[Consigliere-]

в) [tex]x^{4}-(2k+1)x^{2}+k^{2}+k=0[/tex]
полагаме [tex]x^{2}=t,t>0[/tex]
[tex]t^{2}-(2k+1)t+k^{2}+k=0[/tex]
За да имаш 4 различни реални корена е необходимо да получиш 2 положителни стойности за t
А това е изпълнено при
[tex]|t_{1}.t_{2}>0[/tex]
[tex]|t_{1}+t_{2}>0[/tex]
[tex]|D>0[/tex]

[tex]|k^{2}+k>0,k(k+1)>0[/tex]
[tex]|2k+1>0,k>-\frac{1}{2 }[/tex]
[tex]|D=4k^{2}+4k+1-4k^{2}-4>0[/tex]

[tex]|k(k+1)>0[/tex]
[tex]|k>-\frac{1}{2 }[/tex]
[tex]|4k-3>0,k>\frac{3}{ 4}[/tex]
Засичаш и получаваш ,че [tex]k\in (\frac{3}{4 } ;+\infty)[/tex]