Параметрично уравнение

[andromaha_7]

Да се намерят стойностите на параметъра а.doc

Параметрично уравнение

(34 KiB) 138 пъти

[Гост]

[tex]x^4+ax^3+x^2+ax+1=0[/tex] да няма отрицателни корени.
[tex]x\ne 0[/tex]
[tex]x^4+ax^3+x^2+ax+1=0|x^2\Leftrightarrow x^2+ax+1+\frac{a}{x}+\frac{1}{x^2}=0\Leftrightarrow (x^2+\frac{1}{x^2})+a(x+\frac{1}{x})+1=0[/tex]
Полагаме [tex]x+\frac{1}{x}=t\Rightarrow x^2+2+\frac{1}{x^2}=t^2\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2[/tex]
Получихме 2 уравнения
[tex]t^2+at-1=0[/tex]
[tex]x^2-xt+1=0[/tex]
Второто уравнение няма отрицателни корени, когато: произведението от корените е положително. [tex]D=t^2-4[/tex], искаме да има корени, значи [tex]t^2<4[/tex]. Сумата от корените е [tex]t[/tex]. Корените са с еднакви знаци и ако и двата са отрицателни [tex]t\le -2[/tex], а иначе искаме [tex]t\ge 2[/tex]. Сега второто уравнение има 2 положителни корена. Дотук единственото условие, което наложихме е [tex]t\ge 2[/tex].
Сега искаме 1вото уравнение да има корен [tex]\ge 2[/tex].
[tex]D=a^2+4>0[/tex] значи първото уравнение има 2 реални корени, прозиведението им е отрицателно. Искаме [tex]2^2+2a-1<0\Leftrightarrow a<-\frac{3}{2}[/tex]