2 Ирационални равенства

[Henz]

[tex]\sqrt[]{x}+\frac{1}{ \sqrt[]{x} } =\frac{2}{ 2^{x-1 }}[/tex] Това някак го реших с логаритми,но не съм сигурен,получих x>= 2

[tex]\sqrt[3]{24+x} +\sqrt[]{12-x} =6[/tex]

[ganka simeonova]

Ползвай неравнството на Коши:
[tex]a+\frac{1}{a } \ge 2<=>a> 0=>[/tex] за [tex]x>0=>f(x)=\sqrt{x} +\frac{1}{ \sqrt{x} } \ge 2[/tex]
Равенство за х=1
[tex]g(x)=\frac{2}{ 2^{x-1} }\le \frac{2}{ 2^0} =2=>f(x)=g(x)<=>x=1[/tex]
Значи равенство за х=1 и се получава 2.

[martin123456]

Ползвай неравнството на Коши:
[tex]a+\frac{1}{a } \ge 2<=>a> 0=>[/tex] за [tex]x>0=>f(x)=\sqrt{x} +\frac{1}{ \sqrt{x} } \ge 2[/tex]
Равенство за х=1
[tex]g(x)=\frac{2}{ 2^{x-1} }\le \frac{2}{ 2^0} =2=>f(x)=g(x)<=>x=1[/tex]
Значи равенство за х=1 и се получава 2.

откъде знаем че [tex]x\ge 1[/tex]

[Knowledge Greedy]

За второто уравнение положи [tex]24+x=u^3[/tex] и [tex]12-x=v^2[/tex] .
Ще получиш [tex]u+v=6[/tex] и като решиш получената система, имай предвид ограниченията за допустими стойности на [tex]x[/tex] под квадратния корен.

Що се отнася до първото уравнение, с неравенството на Коши можеш да откриеш ограничения за корените 0 < х [tex]\le 1[/tex]. Но освен очевидния корен [tex]x=1[/tex] има още един.

[martin123456]

2
допускаме че [tex]x[/tex] е корен
повдигаме на 3та
[tex]24+x+12-x+3\sqrt[3]{24+x}\sqrt{12-x}(6)=6^3[/tex], изразът в скобите (6) е след заместване с условието
[tex]\sqrt[3]{24+x}\sqrt{12-x}=\frac{6^3-36}{18}=10[/tex]
значи [tex]\sqrt[3]{24+x}[/tex] и [tex]\sqrt{12-x}[/tex] удпвлетворяват формулите на виет и значи са корени на квадратното уравнение [tex]t^2-6t+10=0[/tex]. оттам е по лесно