Системи уравнения от втора степен с две неизвестни

[Гост]

[tex]1

|x^2 + y^2 = 4a^2 + b^2


|x+y=2a+b

2


|x^2 + z^2 =\frac{10c^2}{9 }


|z-x=\frac{2c}{3 }



3

|x-y=a+1

|2xy+2y=-a^2-4[/tex]

Трябва ми начина на решение.

Ето отговорите:
[tex]1. (2a;b) (b,2a)

2. ( \frac{10c}{3 } ; c ) (-c ;- \frac{c}{3 } )[/tex]

3.
3.1. Ако a=2 , (1;-2)
3.2. Ако а≠2 системата няма решение

[ammornil]

..::(1)::..
[tex]\begin{array}{|l}x^2+y^2=4.a^2+b^2 \\ x+y=2.a+b \end{array}[/tex]

Използваме, че: [tex](x+y)^2=x^2+y^2+2.x.y \Leftrightarrow x^2+y^2=(x+y)^2-2.x.y[/tex]
Тогава конкретно в случая: [tex]x^2+y^2=(2.a+b)^2-2.x.y[/tex] и заместваме в дадената система

[tex]\begin{array}{|l}(2.a+b)^2-2.x.y=4.a^2+b^2 \\ x+y=2.a+b \end{array} \hspace{12} \Rightarrow \begin{array}{|l}\cancel{4.a^2}+4.a.b\cancel{+b^2}-2.x.y=\cancel{4.a^2}\cancel{+b^2} \\ x+y=2.a+b \end{array} \hspace{12} \Rightarrow \begin{array}{|l}x.y=2.a.b \\ y= 2.a+b-x \end{array} \hspace{12} \Rightarrow \\
\begin{array}{|l}x.(2.a+b-x)=2.a.b \\ y= 2.a+b-x \end{array} \hspace{12} \Rightarrow \begin{array}{|l}x^2-(2.a+b).x+2.a.b=0 \\ y= 2.a+b-x \end{array}[/tex]
Решаваме първото уравнение:
[tex]x^2-(2.a+b).x+2.a.b=0 \\
D=(2.a+b)^2-4.1.2.a.b=4.a^2+4.a.b+b^2-8.a.b=(2.a)^2-2.2.a.b+b^2=(2.a-b)^2 \\
x_{_{1,2}}=\frac{2.a+b \pm (2.a-b)}{2} \hspace{12} \Rightarrow x_1=b \cup x_2=2.a[/tex]

[tex]\begin{array}{|l}x=b \\ y= 2.a+b-x \end{array} \hspace{12} \cup \hspace{12} \begin{array}{|l}x=2.a \\ y=y= 2.a+b-x \end{array} \\
\begin{array}{|l}x=b \\ y=2.a+b-b \end{array} \hspace{12} \cup \hspace{12} \begin{array}{|l}x=2.a \\ y= 2.a+b-2.a \end{array} \\
\begin{array}{|l}x=b \\ y= 2.a \end{array} \hspace{12} \cup \hspace{12} \begin{array}{|l}x=2.a \\ y=b\end{array}[/tex]

ОТГ. [tex](2.a;b), (b; 2.a)[/tex]