Парадокс или Предизвикателство?

[pianperso]

[tex]\sqrt{x-\frac{1}{x } } -\sqrt{1-\frac{1}{ x} } =\frac{x-1}{ x}[/tex]

Ако трябва да започна от някъде, то нека това първо е дефиниционното множество:
Поправете ме ако греша, но би трябвало да е това: ДМ: [tex]x\in [-1;0)\cup [1;\infty )[/tex]

След решаване се получават следните корени: x=[tex]\frac{1+\sqrt{5} }{2 }[/tex] и x=[tex]\frac{1-\sqrt{5} }{2 }[/tex]

Ако разгледаме получените корени, ще видим, че те принадлежат на ДМ, дори и да използваме обикновен калкулатор.
Според методите на решаване, трябва да оставя нещата така, тъй като и двата корена принадлежат на ДМ, но аз подходих с недоверие и получавам следния казус:
Използвам два начина за проверка - единият е ръчен (с помощта на бял лист хартия и знанията за преобразуване - ще го нарека ръчен метод, все едно си на изпит - разполагаш само с четиризначните математически таблици и обикновен калкулатор), а вторият е с помощта на математическите софтуери като Maxima и Universal Math Solver 5.0. Версията на втория цитиран от мен софтуеър не позволява да използвате променлива под радикал, но пък калкулира стойности под радикал, т.е. него го използвах за проверка на корените като замествам с корените. Първият (Maxima) софтеър е мощен инструмент с много големи възможности, но при проверката и двата софтуера показват че втория корен, а именно x=[tex]\frac{1-\sqrt{5} }{2 }[/tex] не е корен на уравнението.
Честно казано с този казус се занимавам вече една седмица и чак сега го представям пред Вас - уважаемата от мен аудитория.
Ключът към този казус представлява именно корена който буди съмнение x=[tex]\frac{1-\sqrt{5} }{2 }[/tex].
Използвайки ръчна проверка посредством най-елементарните преобразувания на бял лист хартия, излиза така, че той е решение, но според софтуеъра пък не е.
И последно преди да завърша, проверете аз използвах и калкулатор и излиза така, че пресметнато в цифри въпросния корен не е решение, но ако използвате и приложите теоритичните познания излиза че е решение.
И почти накрая: Не забравяйте, въпросния корен принадлежи на ДМ.

Нека така да поставя въпроса!
Добре, че не съм на какъвто и да било изпит със условието, че мога да ползвам само калкулатор, защото ще се чудя дали този корен да го включа в решението или да го изключа.

Ще се радвам в темата да се включат и хората, учили Висша математика, но с уговорката, че трябва да представят истинското решение на езика на учениците до 12 клас (като за кандидатстудентски изпит или матура)и с методите, с които боравят те.

Освен това мисля, че ако тази задача с падне на изпит някъде отваря въпроса как ще се оценява.

Ето защо тук дискусията е много важна.

[Гост]

Въпросът ти е безкрайно интересен. Наистина сякаш този енигматичен корен наистина е корен на уравнение при все това, че математическият софтуер твърди обратното. Засега съм безсилен да ти отговоря, но само ще подметна, че се възхищавам на изследователския ти дух - имаш всички качества нужни за учен - упорит и скептичен. Keep up the good work! Такива хора ни трябват в България. Ще се допитам до приятели с математическо образование за този казус - очаквай включване дет са вика!

ПП You made my day!

[ammornil]

Парадокс няма. Повдигането на втора степен е "условно еквивалентно" преобразувание.

Винаги е вярно твърдението:
[tex]\cyr{Ako} \hspace{4} a=b, \hspace{4} \cyr{to} \hspace{4} a^2=b^2[/tex].
Обратното не винаги е вярно. Например [tex](-5)^2=5^2, \cyr{no} \hspace{4} -5 \ne 5[/tex]

Тъй като решението изисква повдигане на страните на уравнението на втора степен (и то повече от веднъж), не е достатъчно получените корени да са в ДМ, но и да удовлетворяват проверка чрез заместване в условието.

В случая един от корените се оказва "придобит" (недействиетелен). Той удовлетворява равенството след две повдигания на втора степен, но не и оригиналната задача!

[Гост]

Много интересна гледна точка. Идеята с 'приблизително еквивалентното' преобразувание ми изглежда новаторска! Какво те навя на тази мисъл? Bookmark-вам страницата и очаквам други включвания от математическите 'гурута'.

[strangerforever]

Много интересна гледна точка. Идеята с 'приблизително еквивалентното' преобразувание ми изглежда новаторска! Какво те навя на тази мисъл? Bookmark-вам страницата и очаквам други включвания от математическите 'гурута'.

Не е приблизително еквивалентно, а е еквивалентно само при определени условия. Какво новаторско виждаш в тази "идея"? Няма смисъл да bookmark-ваш нищо, въпросът на автора е с елементарен отговор и вече беше даден.

[Гост]

Новаторско - нещо ново, използвано за първи път. Лично аз не съм виждал използването на такава аргументация. Не съм завършил математическа гимназия и се занимавам с нещо напълно несвързано с математиката - стоматолог съм. Поради тази причина въпросът ми се стори доста любопитен. Откъде мога да попрочета нещо повече кои трансформации са еквивалентни и кои - не баш? Синът ми догодина става 7 клас и искам да мога да му давам по едно рамо в подготовката за изпитите.

[ammornil]

Новаторско - нещо ново, използвано за първи път. Лично аз не съм виждал използването на такава аргументация. Не съм завършил математическа гимназия и се занимавам с нещо напълно несвързано с математиката - стоматолог съм. Поради тази причина въпросът ми се стори доста любопитен. Откъде мога да попрочета нещо повече кои трансформации са еквивалентни и кои - не баш? Синът ми догодина става 7 клас и искам да мога да му давам по едно рамо в подготовката за изпитите.

И аз не съм учил в Математическа гимназия. Това че не си виждал нещо не го прави новаторско. Аз през живота си не съм правил пломба, но не бих определил работата на стоматолога ми като новаторска, само защото не я познавам.

Твърденията се проверяват като се доказват.

Ако искаш да си полезен на сина си, намери някой който се занимава с математика, за да му помага за изпитите по този предмет.

[Гост]

Само да отбележим че и x=1 е корен...

[Гост]

Много интересна обзервация. Наистина x=1 изглежда като да е корен - защо ли това убягна на математическото войнство? Ammornil, може би малко се изхвърлих с определението новаторско, но просто бях крайно впечатлен от подхода ти! Пък и като те хвалят недей се крий от 10 планини в 11. Според мен заслужаваш адмирации за написаното.

ПП Относно образованието на сина ми - той ходи активно вече 3 година на математическа занималня. Видимо математиката му се удава, но кой знае - еднаквите триъгълници винаги ме плашеха в училище

ПП_2 Май е крайно време да се регистрирам в този форум

[Гост]

Според мен - съкращаваш някъде некоректно при решаването и от там идва всичко.

[Гост]

Г-не, или не сте в България или се правите на чужденец. Все пак българският е хубав език, на който се казва наблюдение (не обсервация) и възхищение (не адмирация).
Else the first step is to multiply both sides of the equation with the adjoint quantity. Si vous aves d'autre questions je suis pret a repondre!

[Гост]

J'ai compris le solution. Je Vous remercie infiniment

[pianperso]

Безкрайно съм благодарен на всички за включването ви в темата.
Искам също така и специално да благодаря на ammornil за гледната точка, както и на "незнайния", който допълни че и единица също е решение.
Аз обаче от своя страна пак искам да поставя един, два въпроса:
Учейки математика до 12-ти клас, както и за кандидатстудентски изпити съм записал, че такива уравнения се решават по два метода:
Първи метод - Повдигаш на квадрат и после проверяваш всеки един корен
Втори метод - Определяш ДМ и решаваш
При втория метод никога в решените задачи за подготовка не са се правили проверки.
Не желая да задавам глупави въпроси, но защо да определям ДМ, като след това пак ще трябва да правя проверка (въпроса ми е един вид критика към втория метод, който аз познавам). А и друго като определихме пък ДМ, човека който каза че и х=1 е решение, навярно е стигнал до това решение като е замествал с крайните точки.
Може би Вторият метод би трябвало да изглежда така:
Определяш ДМ, пробваш и някоя друга точка , решаваш и пак правиш проверка . Малко като "Тома неверни" . Е ако това се удобри в учебниците все пак ще бъде записано със съответната стилистика.

Предварително Благодаря!

[inveidar]

Няма такъв втори метод, който сте написали по-горе, уважаеми. Вторият метод е определяне на ДМ и следене на всяка стъпка дали преобразуванията, които правиш са равносилни. А това означава да записваш допълнителни условия за проверка освен ДМ като, например, при повдигане на квадрат на двете страни на равенството, те да са неотрицателни, когато делиш двете страни, да не делиш на нула и т. н. Това е положението и няма наистина нищо ново и интересно във въпросното уравнение.

[Гост]

Общи методи няма. Има само за най-простите ирационални уравнения, до които по-сложните се свеждат, но самото свеждане и решаване е различно за всеки конкретен случай. Мисълта ми е, че няма обща схема за свеждане на едно произволно дадено уравнение до по-просто, за което има метод за решаване. Просто всеки конкретен случай се изследва сам за себе си. Основното, за което човек трябва да гледа, на всеки ход, е кога изразите, които участват в уравнението имат смисъл, както и при кои стойности на неизвестното, самото равенство е изпълнено. Например в конкретния случай, допустимите стойности на неизвестното е по-тясно множество, от това което сте посочили. Вие сте посочили само стойностите на неизвестното, при които всички изрази участващи в уравнението са дефинирани, но не и стойностите при които самото равенство е възможно да е изпълнено. Ако човек погледне уравнението ще види, че за -1≤х<0 или 1≤ х, отдясно стои неотрицателно число, значи за да бъде въобще вярно това равенство, трябва и отляво да стои неотрицателно число, а това е изпълнено само за 1≤x, така че множеството от допустимите стойности се стеснява. При това коренът х=1 се намира директно, когато и двете стани на уравнението са едновременно 0, след което остава за изследване само случая, когато и двете страни са положителни.

[inveidar]

Ако човек погледне уравнението ще види, че за -1≤х<0 или 1≤ х, отдясно стои неотрицателно число, значи за да бъде въобще вярно това равенство, трябва и отляво да стои неотрицателно число, а това е изпълнено само за 1≤x, така че множеството от допустимите стойности се стеснява.

Оф!!! Омръзна ми да повтарям, че множеството от допустимите стойности на уравнението са тези стойности, за които уравнението има смисъл, а това означава, че могат да се извършат означените действия. В нашия случай това са стойностите на неизвестното, за които подкоренните величини са неотрицателни и за които знаменателите са различни от нула. Другите ограничения са за това, че ако заместим тези стойности, ще получим невярно равенство. Но това НЕ са допустими стойности. Пиша това за последен път и повече не ме интересува дали някой е разбрал това или не.

[Гост]

Другите ограничения са за това, че ако заместим тези стойности, ще получим невярно равенство. Но това НЕ са допустими стойности.

Хехе, ами нали точно това се казва по-горе.

[inveidar]

Не е така бе пич! Ти казваш, че множеството от допустимите стойности се стеснява. А това не е вярно. То си остава такова, каквото си е било, а се появяват други ограничения за неизвестното. Това не е същото.

[ammornil]

Безкрайно съм благодарен на всички за включването ви в темата.
Искам също така и специално да благодаря на ammornil за гледната точка, както и на "незнайния", който допълни че и единица също е решение.
Аз обаче от своя страна пак искам да поставя един, два въпроса:
Учейки математика до 12-ти клас, както и за кандидатстудентски изпити съм записал, че такива уравнения се решават по два метода:
Първи метод - Повдигаш на квадрат и после проверяваш всеки един корен
Втори метод - Определяш ДМ и решаваш
При втория метод никога в решените задачи за подготовка не са се правили проверки.
Не желая да задавам глупави въпроси, но защо да определям ДМ, като след това пак ще трябва да правя проверка (въпроса ми е един вид критика към втория метод, който аз познавам). А и друго като определихме пък ДМ, човека който каза че и х=1 е решение, навярно е стигнал до това решение като е замествал с крайните точки.
Може би Вторият метод би трябвало да изглежда така:
Определяш ДМ, пробваш и някоя друга точка , решаваш и пак правиш проверка . Малко като "Тома неверни" . Е ако това се удобри в учебниците все пак ще бъде записано със съответната стилистика.

Предварително Благодаря!

Определянето на ДМ не означава, че всички точки в него могат да бъдат решение на задачата! Понякога в процеса на решаване възникват допълнителни ограничения, породени от "изкуствените преобразувания". Такива са например изискванията към аргумента на логаритъм, тогава когато двете страни се логаротмуват. Друг пример е въвеждане на неотрицателност, тогава когато двете страни ще се коренуват и т.н. Това не е нито допълнение към ДМ, нито сляпо налучкване на решение. Методологията е ясно разписана и съображенията за допълнителните ограничения са неделима част от задачата.

В случая всеки път преди да се повдигнат на втора степен, всяка от страните на равенството трябва да е неотрицателна, което води до решаване на системи неравенства. Това се избягва с уговорката, че след като се намерят корените те ще бъдат заместени в условието на задачата, и така ще се спази методическото ограничение.

Първи, втори, ..., енти метод- всички се основават на правила. Не знам генерално кой "никога" или "винаги" какво не прави/прави. Знам, че верните отговори са сигурни само тогава, когато всички ограничения са спазени.

Да получиш отговора на задачата не винаги означава че си работил правилно. Това е като да караш веднъж пиян и щом си се прибрал без проблем да кажеш: "ами няма проблем да карам пил". На сто пъти веднъж може да сгрешиш и това да коства много на някого.

Спазвайте правилата и в математиката, и в живота! Правилата пазят вас от другите и другите от вас.