Някой знае ли как се решава това?

[Гост]

[tex]\sqrt[4]{1+x} - \sqrt[4]{1-x}=1[/tex]

Аз получавам следното: [tex]x=1-(\frac{\sqrt{2\sqrt{6}-3 } -1}{ 2} )^4[/tex]

Така полученият от мен корен сега не мога да го проверя да ли е верен. Използвах калкулатор с повече разряди, но като че ли излиза, че не удовлетворява уравнението. Използвах и една компютърна програмка, ама тя закръгля и накрая излиза, че е вярно. Чудя се какво да правя, ако ми се падне на изпит по математика.

Моля, някой да ми помогне.
А ако пък уравнението няма реални корени, бихте ли ми обяснили как да го докажа.

Благодаря!!!

[ammornil]

Задачата не изглежда трудна, но я решавах известно време и явно някъде бъркам, а не виждам къде... Допускам, че е някъде в преобразуванията. Ако някой може да ми покаже грешката, моля да пише.
[tex]\sqrt[4]{1-x}-\sqrt[4]{1+x}=1 \\
***\\
\cyr{DM} \\
\left|1-x \ge 0 \\ 1+x \ge 0 \right, \hspace{8} \Rightarrow \hspace{8} \left| x \le 1 \\ x \ge -1 \right, \hspace{8} \Rightarrow \hspace{8} x \in [-1;1] \\
***[/tex]
х има дефиниционното множество на sin и cos, следователно може да се замени със степен на едната или другата функция при нов неизвестен аргумент, според това как ще ни е по-удобно.
[tex]1-cos(2.y)=2.sin^2y \\
1+cos(2.y)=2.cos^2y[/tex]
полагаме
[tex]x=cos(2.y)\\
\sqrt[4]{1-cos(2.y)}-\sqrt[4]{1+cos(2.y)}=1 \\
\sqrt[4]{2.sin^2y}-\sqrt[4]{2.cos^2y}=1 \\
\sqrt[4]{2}.(\sqrt{sin(2.y)}-\sqrt{cos(2.y)})=1 \\
\sqrt{sin(2.y)}=\frac{\sqrt[4]{8}}{2}+\sqrt{cos(2.y)} \hspace{8} |(...)^2 \\
sin(2.y)=\frac{2.\sqrt{2}}{4}+2.\frac{\sqrt[4]{8}}{2}.\sqrt{cos(2.y)}+cos(2.y) \\
sin(2.y)-cos(2.y)-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt[4]{8}.\sqrt{cos(2.y)} \hspace{8} |(...)^2 \\
\underbrace{sin^2(2.y)+cos^2(2.y)}_{1}+\frac{1}{2}-2.sin(2.y).cos(2.y)-\cancel{2}.sin(2.y).\frac{\sqrt{2}}{\cancel{2}}+\cancel{2}.cos(2.y).\frac{\sqrt{2}}{\cancel{2}}-2.\sqrt{2}.cos(2.y)=0 \\
\frac{1}{2}+(1-sin(4.y))-\sqrt{2}(sin(2.y)+cos(2.y))=0 \\
***1-sin(4.y)=2.sin^2(\frac{\pi}{4}-\frac{4.y}{2})=2.sin^2(\frac{\pi}{4}-2.y) \\
****sin(2.y)+cos(2.y)=\sqrt{2}.cos(\frac{\pi}{4}-2.y)\\
*****\frac{\pi}{4}-2.y=u\\
\frac{1}{2}+2.sin^2(u)-\sqrt{2}.\sqrt{2}.cos(u)=0 \hspace{8} \Rightarrow \hspace{8} \frac{1}{2}+2.(1-cos^2u)-2.cosu=0\\
-2.cos^2u-2cosu+\frac{5}{2}=0 \hspace{8} \Rightarrow \hspace{8} 4.cos^2u+4.cosu-5=0 \\
(cosu)_{_{1,2}}=\frac{-2\pm 2\sqrt{6}}{4} \\
cos_{_{1}}u=\frac{-2-\sqrt{6}}{2} <-1 \Rightarrow \cancel{\exists} \hspace{8} \cup \hspace{8} cos_{_{2}}u=\frac{-2+\sqrt{6}}{2} \\
u_{_{1,2}}= \pm arccos(\frac{-2+\sqrt{6}}{2}) \\
\frac{\pi}{4}-2.y=u \hspace{8} \Rightarrow \hspace{8} y=\frac{u-\frac{\pi}{4}}{2}=\frac{u}{2}-\frac{\pi}{8} \\
y_1=-\frac{arccos(\frac{-2+\sqrt{{6}}}{2})}{2}-\frac{\pi}{8} \\
y_2=\frac{arccos(\frac{-2+\sqrt{{6}}}{2})}{2}-\frac{\pi}{8}\\
\left| x_1=cos(y_1) \\ x_2=cos(y_2) \right, \\
***\cyr{PROVERKA}***\\
\sqrt[4]{1-x}-\sqrt[4]{1+x}=1 \\[/tex]
Проверката не излиза...

[ammornil]

Задачата не изглежда трудна, но я решавах известно време и явно някъде бъркам, а не виждам къде... Допускам, че е някъде в преобразуванията. Ако някой може да ми покаже грешката, моля да пише.
[tex]\sqrt[4]{1-x}-\sqrt[4]{1+x}=1 \\
***\\
\cyr{DM} \\
\left|1-x \ge 0 \\ 1+x \ge 0 \right, \hspace{8} \Rightarrow \hspace{8} \left| x \le 1 \\ x \ge -1 \right, \hspace{8} \Rightarrow \hspace{8} x \in [-1;1] \\
***[/tex]
х има дефиниционното множество на sin и cos, следователно може да се замени със степен на едната или другата функция при нов неизвестен аргумент, според това как ще ни е по-удобно.
[tex]1-cos(2.y)=2.sin^2y \\
1+cos(2.y)=2.cos^2y[/tex]
полагаме
[tex]x=cos(2.y)\\
\sqrt[4]{1-cos(2.y)}-\sqrt[4]{1+cos(2.y)}=1 \\
\sqrt[4]{2.sin^2y}-\sqrt[4]{2.cos^2y}=1 \\
\sqrt[4]{2}.(\sqrt{sin(2.y)}-\sqrt{cos(2.y)})=1 \\
\sqrt{sin(2.y)}=\frac{\sqrt[4]{8}}{2}+\sqrt{cos(2.y)} \hspace{8} |(...)^2 \\
sin(2.y)=\frac{2.\sqrt{2}}{4}+2.\frac{\sqrt[4]{8}}{2}.\sqrt{cos(2.y)}+cos(2.y) \\
sin(2.y)-cos(2.y)-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt[4]{8}.\sqrt{cos(2.y)} \hspace{8} |(...)^2 \\
\underbrace{sin^2(2.y)+cos^2(2.y)}_{1}+\frac{1}{2}-2.sin(2.y).cos(2.y)-\cancel{2}.sin(2.y).\frac{\sqrt{2}}{\cancel{2}}+\cancel{2}.cos(2.y).\frac{\sqrt{2}}{\cancel{2}}-2.\sqrt{2}.cos(2.y)=0 \\
\frac{1}{2}+(1-sin(4.y))-\sqrt{2}(sin(2.y)+cos(2.y))=0 \\
***1-sin(4.y)=2.sin^2(\frac{\pi}{4}-\frac{4.y}{2})=2.sin^2(\frac{\pi}{4}-2.y) \\
****sin(2.y)+cos(2.y)=\sqrt{2}.cos(\frac{\pi}{4}-2.y)\\
*****\frac{\pi}{4}-2.y=u\\
\frac{1}{2}+2.sin^2(u)-\sqrt{2}.\sqrt{2}.cos(u)=0 \hspace{8} \Rightarrow \hspace{8} \frac{1}{2}+2.(1-cos^2u)-2.cosu=0\\
-2.cos^2u-2cosu+\frac{5}{2}=0 \hspace{8} \Rightarrow \hspace{8} 4.cos^2u+4.cosu-5=0 \\
(cosu)_{_{1,2}}=\frac{-2\pm 2\sqrt{6}}{4}=\frac{-1 \pm \sqrt{6}}{2} \\
cos_{_{1}}u=\frac{-1-\sqrt{6}}{2} <-1 \Rightarrow \cancel{\exists} \hspace{8} \cup \hspace{8} cos_{_{2}}u=\frac{-1+\sqrt{6}}{2} \\
u_{_{1,2}}= \pm arccos(\frac{-1+\sqrt{6}}{2}) \\
\frac{\pi}{4}-2.y=u \hspace{8} \Rightarrow \hspace{8} y=\frac{u-\frac{\pi}{4}}{2}=\frac{u}{2}-\frac{\pi}{8} \\
y_1=-\frac{arccos(\frac{-1+\sqrt{{6}}}{2})}{2}-\frac{\pi}{8} \\
y_2=\frac{arccos(\frac{-1+\sqrt{{6}}}{2})}{2}-\frac{\pi}{8}\\
\left| x_1=cos(y_1) \\ x_2=cos(y_2) \right, \\
***\cyr{PROVERKA}***\\
\sqrt[4]{1-x}-\sqrt[4]{1+x}=1 \\[/tex]
Проверката пак не излиза...

[mkmarinov]

х има смисленото множество на тригонометрични функции, но замяната по никакъв начин не е удобна
А, освен това, [tex]\sqrt[4]{sin^2x} \ne \sqrt{sinx}[/tex]

Та, да пробваме с нещо по-разумно:
[tex]\sqrt[4]{1+x}=u[/tex]
[tex]\sqrt[4]{1-x}=v[/tex]
Което означава, че
[tex]\begin{tabular}{|l}u-v=1 \\ u^4+v^4=2 \end{tabular}[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}u^4-4u^3v+6u^2v^2-4uv^3+v^4=1 \\ u^4+v^4=2 \end{tabular}[/tex]

След като ги извадим, получаваме:
[tex]2uv(2u^2-3uv+2v^2)=1[/tex] (1)

Като повдигнем първото на квадрат, получаваме [tex]2u^2-4uv+2v^2=2[/tex]. Заместваме в (1):
[tex]2uv(2+uv)=1[/tex]
[tex]2(uv)^2+4(uv)-1=0[/tex]
Т.к. и u, и v са положителни, остава само единия корен.
[tex]uv = \frac{\sqrt{6}-2}{2}[/tex]
Тук, за удобство, сменяме [tex]w=-v[/tex]:
[tex]uw=\frac{2-\sqrt{6}}{2}[/tex]
[tex]u+w=1[/tex]

Т.е. u,(-v) са корените на уравнението [tex]r^2-r+\frac{2-\sqrt{6}}{2}=0[/tex]

[inveidar]

Аз получавам следното: [tex]x=1-(\frac{\sqrt{2\sqrt{6}-3 } -1}{ 2} )^4[/tex]

А според мен трябва да е [tex]x=1-(\frac{\sqrt{2\sqrt{6}-3 } +1}{ 2} )^4[/tex].

[Гост]

Да, това са ми отговорите, но не мога да ги проверя, а съответно и не знам те корени ли са и ли не.
Нали задължително трябва да направя проверка.

[tex]x=1-(\frac{\sqrt{2\sqrt{6}-3 } -1}{ 2} )^4[/tex] или [tex]x=1-(\frac{\sqrt{2\sqrt{6}-3 } +1}{ 2} )^4[/tex]

Тези решения са получени без да сменям променливата, както е даден примера с тригонометричните функции. Горе долу решавам задачата като mkmarinov и получавам гореспоменатите корени.

Въпроса ми е такъв, че ако тази задача ми се падне на изпит и накрая получа например тези отговори какво да правя, след като не мога да ги докажа с проверка?

[inveidar]

Прати ми решението си на лично съобщение и ще ти обясня дали трябва да правиш и дали не трябва да правиш проверка. Можеш да го снимаш и да ми пратиш снимка.