Ирационално параметрично уравнение

[Nuki]

[tex]\sqrt{x-a} + \sqrt{x} = 1[/tex]

Отговор: [tex]a \in [-1;1] x= 1/4(a+1)^2[/tex]

[ammornil]

[tex]\sqrt{x-a}+\sqrt{x}=1[/tex]
[tex]\hspace{16} \cyr{DM}\\
\hspace{16}\begin{array}{|l}x-a \ge 0 \\ x \ge 0 \end{array} \hspace{12} \Rightarrow \begin{array}{|l}x \ge a \\ x \ge 0 \end{array}[/tex]
[tex]\vspace{12} \\
понеже \hspace{4} \sqrt{f(x)} \ge 0 \forall x \Rightarrow \begin{array}{|l}x-a<1 \\ x<1 \end{array} \hspace{8} \Rightarrow \begin{array}{|l}x<a+1 \\ x<1 \end{array}[/tex]
Това е наложително за да може сборът от корените да е едно. Ако някоя от подкоренните величини е по-голяма от 1, то сумата ще е винаги по-голяма от 1. Трябва да засечем с ДМ като разгледаме три случая за стойността на параметъра:
1) ако а<-1
2)ако -1≤а≤1
3)ако а>

1случай)
[tex]a<-1 \Rightarrow DM: \begin{array}{|l}x-a \ge 0 \\ x \ge 0 \\ x-a <1 \\ x <1 \end{array} \hspace{12} \Rightarrow
\begin{array}{|l}x \ge a \\ x \ge 0 \\ x < 1+a \\ x<1 \end{array} \hspace{12} \Rightarrow \begin{array}{|l}x \ge a \\ x \ge 0 \\ x < 1+a < 0 \\ x<1 \end{array}[/tex]
Второто и третото неравенства са несъвместими следователно за а<-1 няма решения на уравнението.

2случай)
[tex]-1 \le a \le 1 \Rightarrow DM: \begin{array}{|l}x-a \ge 0 \\ x \ge 0 \\ x-a <1 \\ x <1 \end{array}[/tex]
[tex]\vspace{12} \\
(\sqrt{x-a})^2=(1-\sqrt{x})^2 \\
x-a=1-2\sqrt{x}+x[/tex]
[tex]2\sqrt{x}=1+a \\
4x=(1+a)^2 \\
x=\frac{1}{4}.(1+a)^2[/tex]
Понеже а принадлежи от -1 до 1, изразът за х е в ДМ. Ако заместите в системата за ДМ в този случай ще получите верни неравенства за всичките четири ограничения.

3случай)
[tex]a>1 \Rightarrow DM: \begin{array}{|l}x-a \ge 0 \\ x \ge 0 \\ x-a <1 \\ x <1 \end{array} \hspace{12} \Rightarrow
\begin{array}{|l}x \ge a > 1 \\ x \ge 0 \\ x < 1+a \\ x<1 \end{array}[/tex]
Първото и четвъртото неравенства са несъвместими следователно за а>1 няма решения на уравнението.

Единствено решение е случай 2.