Схема на Хорнер

[Гост]

Да се реши уравнението [tex]6x^{4}-25x^{3}+27x^{2}-4=0[/tex]
Ще съм много благодарен, ако някой ми опише подробно решението чрез схемата на Хорнер(ако може и с обеснения)
Благодаря предварително!

[Гост]

Намираш си някое решение и разлагаш по метода на Хорнер.
Например x=-1/3.Разделяш даденият полином с 3x+1 по метода на Хорнер и получаваш:
(6x^4-25x^3+27x^2-4):(3x+1)=2x^3-9x^2+12x-4
После намираш друго решение например x=1/2 и отново разделяш по метода на Хорнер този път с 2x-1
(2x^3-9x^2+12x-4):(2x-1)=x^2-4x+4
това последното може да го разложиш с формулите за съкратено умножение.
6x^4-25x^3+27x^2-4=(3x+1)(2x-1)(x-2)^2=0
От тук трябва да знаеш как да намериш неизвестното.

[Гост]

Схемата на Хорнер е следствие от теоремата за деление на два полинома с частно и остатък. Човек много лесно може да си я изведе, като раздели даден полином f на линеен полином от вида x-a, при което коефициентите на частното се смятат лесно, а остатъкът се оказва f(а). Често пъти под схема на Хорнер се разбира една таблица, за която се дава само начина на полълване, без да се обяснява много, много, но по същество попълването се реализира по формулите, които се получават за коефициентите на частното. Едно от приложенията на схемата на Хорнер е за решаване на полиномиални уравнения, обаче това не върви за всички полиномиални уравнения, както и не могат да се намират всички решения по този начин. Схемата на Хорнер върви за решаване само на полиномиални уравнения с рационални коефициенти, при това, по този начин, могат да се намират само рационалните корени. Самата реализация на метода за намиране на рационални корени обаче, почива върху теоремата, че ако едно рационално число е корен на полином с цели коефициенти, то числителят му дели свободния член, а знаменателят дели старшия коефициент. Тогава рационалните корени на полином [tex]f(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n[/tex], с цели коефициенти [tex]a_k[/tex], се търсят във вида p/q, където p и q са делители съответно на [tex]a_0[/tex] и [tex]a_n[/tex], след което само се проверява, по схемата на Хорнер, за кои от числата p/q, даденият полином f се дели без остатък на полинома x-p/q, и тогава тези числа са рационалните решения на уравнението f(x)=0.
Като цяло, схемата на Хорнер е по-скоро удобен и бърз начин за смятане на стойности на даден полином, при зададена стойност на променливата, като в частност, в задачи като горната, схемата се прилага, когато човек иска да провери дали дадено число е корен на полинома.

[Гост]

Благодаря много!