Параметрично уравнение

[Red_General]

За кои стойности на параметъра а корените на уравнението: (a^{2}+1)x^{2} + (3a-4)x + a^{2} + 5 удовлетворяват условието x1<3<x2<7.

Дискриминантата излиза нещо от четвърта степен и дори не знам как да намеря стойностите за а, при които е положителна. Нататък и идея си нямам. Благодаря предварително за помощта.

[monika_at]

За кои стойности на параметъра а корените на уравнението: [tex](a^{2}+1)x^{2} + (3a-4)x + a^{2} + 5[/tex]удовлетворяват условието [tex]x_1<3<x_2<7[/tex].

Дискриминантата излиза нещо от четвърта степен и дори не знам как да намеря стойностите за а, при които е положителна. Нататък и идея си нямам. Благодаря предварително за помощта.

[Добромир Глухаров]

[tex]f(x)=(a^2+1)x^2+(3a-4)x+a^2+5[/tex]

Трябва да се реши системата: [tex]\begin{tabular}{|l}f(3)<0\\f(7)>0\end{tabular}[/tex]

Аз получавам [tex]a\in\(-\frac{1}{2};-\frac{2}{5}\)[/tex]

[monika_at]

[tex]f(x)=(a^2+1)x^2+(3a-4)x+a^2+5[/tex]

Трябва да се реши системата: [tex]\begin{tabular}{|l}f(3)<0\\f(7)>0\end{tabular}[/tex]

Аз получавам [tex]a\in\(-\frac{1}{2};-\frac{2}{5}\)[/tex]

И аз толкова

[Red_General]

Браво на вас, ама моля ви, обяснете как. Дори не ми е ясно как съставихте системата от неравенства f(3) < 0 и f(7) > 0.

[Добромир Глухаров]

Най-напред забелязваме, че коефициентът пред [tex]x^2[/tex] е положителен за всяко [tex]a[/tex]. Значи параболата - графика на квадратната функция е обърната с отворената страна нагоре. [tex]f(3)<0[/tex] ни гарантира, от една страна, че [tex]f(x)=0[/tex] има корени - щом [tex]f(x)[/tex] приема отрицателна стойност, а наляво и надясно в достатъчно отдалечени точки е положителна, значи става равна на нула вляво и вдясно от [tex]x=3[/tex]. Това последното ни е достатъчно да твърдим, че [tex]x_1<3<x_2[/tex]. Остава само да подсигурим, че [tex]x=7[/tex] е вдясно от [tex]x_2[/tex]. За целта е достатъчно в тази точка, [tex](x=7)[/tex], функцията да приема положителна стойност.

А като решим [tex]f(3)<0[/tex] спрямо [tex]a[/tex], получаваме решението, тъй като пък [tex]f(7)>0[/tex] е изпълнено за всяко [tex]a[/tex] - дискриминантата му е отрицателна.

Ето и графиката, начертана за [tex]a=-0,45[/tex] - средата на интервала-решение.

Параметрично уравнение.png (7.93 KiB) Прегледано 572 пъти

[Red_General]

Моментът с дискриминантата не ми е ясен. За да има уравнението реални корени, трябва да има положителна дискриминанта, нали?

[Добромир Глухаров]

Моментът с дискриминантата не ми е ясен. За да има уравнението реални корени, трябва да има положителна дискриминанта, нали?

Да. Или може дискриминантата да е 0 - тогава двата корена съвпадат в един - но пак е реален.

В нашия случай обаче [tex]f(7)=50a^2+21a+26;\ D=441-4.50.26<0\Rightarrow\ f(7)>0[/tex] за всяко [tex]a[/tex].
Или може да се отдели точен квадрат: [tex]f(7)=50\(a^2+2.0,21a+0,0441\)-50.0,0441+26=50\(a+0,21\)^2+23,795>0;\ \forall\ a[/tex].

[Red_General]

Нямам предвид дискриминантата спрямо А при F(7), а дискриминантата на уравнението F(x).

Според мен трябва да се реши следната система
f(3)<0
f(7)>0
D>0

D = (3a-4)^2 -4.(a^2+1).(a^+5). Получава се една гадост от чевърта степен. Макар че, докато пиша това се замислям. След като f(a) <0 и същевременно f(b)>0, то тогава графиката пресича абсцисата, съответно уравнението има със сигурност реални корени. Тогава и неравенството D>0 е излишно в системата.

[monika_at]

Точно така.Условието за Д е излишно.