уравнение

[abc]

Да се реши уравнението:

√(x^2 - 2x + 4) + √( x^2 - 2x√(3) + 4 )= 2√2

[Knowledge Greedy]

[tex]\sqrt{x^{2}-2x+4} +\sqrt{x^{2}-2x\sqrt{3} +4}=2\sqrt{2}[/tex]
Тъй като под корените се мъдрят два квадрата, задачата ми прилича да се реши с оценяване.
Квадратите са: [tex]x^{2}-2x+4=x^{2}-2x+1+3=(x-1)^{2}+3[/tex]- под първия корен и [tex]x^{2}-2x\sqrt{3} +4=(x-\sqrt{3})^{2}+1[/tex]- под втория корен. Ще ги запишем събрани заедно в уравнението, но ще ги допълним така:
[tex]\sqrt{(x-1)^{2}+(0-\sqrt{3})^{2}}[/tex] и [tex]\sqrt{(x-\sqrt{3})^{2}+(0+1)^{2}}.[/tex]
Първият корен е разстоянието [tex]XB[/tex], а вторият - разстоянието [tex]XA[/tex] (виж чертежа).

Неравенство на триъгълника.PNG (9.42 KiB) Прегледано 417 пъти

Точките са с координати [tex]X(x,0) , A(1,\sqrt{3})[/tex] и [tex]B(\sqrt{3},-1).[/tex]
Отсечката [tex]AB=\sqrt{(1-\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{3}-(-1))^{2} }=[/tex][tex]2\sqrt{2}[/tex].
Изпълнено е неравенството на триъгълника [tex]XA+XB\ge AB[/tex].
Равенство е възможно само тогава, когато [tex]X\in AB[/tex], т.е. когато [tex]X[/tex] съвпадне с пресечната точка на [tex]AB[/tex] с абсцисната ос - червената точка на чертежа. Абсцисата [tex]x[/tex] на тази точка удовлетворява даденото уравнение. Друг начин да открием тази абсциса е като напишем уравнението на правата [tex]AB[/tex] (и намерим пресечната и точка с абсцисната ос).
[tex]\frac{y+1}{\sqrt{3}+1}=\frac{x-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}[/tex]
При [tex]y=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\frac{x-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}+1}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]x=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}[/tex]. Отг. [tex]x=2(\sqrt{3}-1)[/tex]