Ирационално уравнение с три радикала

[mady23]

Здравейте,

Имам проблем с едно ирационално уравнение:

[tex]\sqrt{4x^{2} +9x +5} - \sqrt{2x^{2} + x - 1} = \sqrt{x^{2} - 1}[/tex]

Първо определям ДС:
[tex]4x^{2} +9x +5 \ge 0 \Leftrightarrow x\in (-\infty;-\frac{5}{4 }]\cup[-1;+\infty )[/tex]

[tex]2x^{2} + x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x\in (-\infty;-1]\cup[\frac{1}{2 } ;+\infty )[/tex]

[tex]x^{2} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x\in (-\infty;-1]\cup[1 ;+\infty )[/tex]

И накрая получавам, че

[tex]x\in (-\infty ;-\frac{5}{ 4} ] \cup [1;+\infty ) \cup \{-1\}[/tex]

Проверявам дали [tex]x=-1[/tex] е корен на уравнението като замествам по-горе [tex]x[/tex]. Получавам [tex]0=0\Rightarrow x=-1[/tex] е корен. Продължавам като разлагам на множители изразите под корените:

[tex]\sqrt{(x+1).(x+\frac{4}{ 5}) } - \sqrt{(x+1).(x-\frac{1}{2 }) } = \sqrt{(x+1).(x-1)}[/tex]

[tex]\sqrt{(x+1).(x+\frac{4}{ 5}) } - \sqrt{(x+1).(x-\frac{1}{2 }) }- \sqrt{(x+1).(x-1)} = 0[/tex]

[tex]\sqrt{(x+1).(4x+ 5)} - \sqrt{(x+1).(2x-1) }- \sqrt{(x+1).(x-1)} = 0[/tex]

[tex]\sqrt{x+1}.(\sqrt{4x+ 5} - \sqrt{2x-1}- \sqrt{x-1}) = 0[/tex]

Деля на [tex]\sqrt{x+1}[/tex] и получавам:

[tex]\sqrt{4x+ 5} - \sqrt{2x-1}- \sqrt{x-1} = 0[/tex]

[tex]\sqrt{4x+ 5} = \sqrt{2x-1} + \sqrt{x-1}[/tex]

И оттук цялата задача ми се обърква. Подвигам на втора и получавам някакви ужасни сметки. Крайния отговор на задачата е [tex]x=-1[/tex] и [tex]x=5[/tex]. Ще се радвам, ако ме упътите как да продължа нататък, защото изглежда, че по начина, по който принципно трябва да се продължи е грешен.

[kmitov]

Ами повдигаш на квадрат два пъти. Получават се два корена 5 и -9/7. (ако не си ги получил значи си оклепал сметките). Проверяваш ги в началното уравнение чрез заместване и гледаш какво ще стане.

[Knowledge Greedy]

Грешката започва от тук

Проверявам дали [tex]x=-1[/tex] е корен на уравнението като замествам по-горе [tex]x[/tex]. Получавам [tex]0=0\Rightarrow x=-1[/tex] е корен. Продължавам като разлагам на множители изразите под корените:

[tex]\sqrt{(x+1).(x+\frac{4}{ 5}) } - \sqrt{(x+1).(x-\frac{1}{2 }) } = \sqrt{(x+1).(x-1)}[/tex]

Липсва старшият коефициент в разлагането на множители на първите два подкоренни израза, а на първия е сбъркан и коренът - не е [tex]\frac{-4}{5 }[/tex], а е [tex]\frac{-5}{4 }[/tex]

[Knowledge Greedy]

Съкращаването на [tex]\sqrt{x+1}[/tex] е принципна грешка в случая. Заради възможността [tex]x+1<0[/tex] . По този начин автоматично загубваме всички евентуални корени от иначе добре намерената част от [tex]x \in (-\infty ;-\frac{5}{ 4} ][/tex] на дефиниционното множество.

Избягването на тази грешка се заплаща с разглеждането на още едно уравнение, а именно [tex]\sqrt{-(4x+ 5}) - \sqrt{1-2x}- \sqrt{1-x} = 0[/tex].

[mady23]

Намерих си грешката и всичко стана ок. Получих [tex]x=5[/tex] и [tex]x=-\frac{9}{ 7}[/tex] . След това заместих в първоначалното уравнение и ето какво получих:

При [tex]x=-\frac{9}{ 7}[/tex]

[tex]-\frac{4\sqrt{2} }{ 7} \ne \frac{4\sqrt{2} }{7 } \Rightarrow x=-\frac{9}{ 7}[/tex] не е решение

При [tex]x=5[/tex]

[tex]2\sqrt{6} =2\sqrt{6} \Rightarrow x=5[/tex] е решение

И получавам крайния отговор. Knowledge Greedy тогава не може ли да разгледаме изразите под корена като модули в съотвените интервали [tex]x \in (-\infty ;-\frac{5}{ 4} ][/tex] и [tex][1;+\infty )[/tex]

[Knowledge Greedy]

Не! (понякога има щастливо стечение на обстоятелствата )
В тази задача дори както виждаш отговора на г-н Митов се получи [tex]x=-\frac{9}{7 }<-\frac{5}{4 }[/tex]
като решение н а[tex]\sqrt{-(4x+ 5}) - \sqrt{1-2x}- \sqrt{1-x} = 0[/tex](както се оказа от др. допълнително условие - фалшиво).