Намиране на линейна комбинация на израз/въпрос/

[stefito15]

Имаме полином x^4 + x^3 +x^2 +x -1. Знаем, че L е едно негово решение, иска се да се намери израза L/ (L^2 -1 ) като линейна комбинация на на 1 , L, L^2 , L^3. Как се прави това ?

[drago]

И как ти хрумна това? По прицип това е стандартна история, когато се учат полета, разширения на полета, теория на Галоа...един вид ако вземеш примерно [tex]\mathbb{Q}[/tex] и добавиш един корен [tex]\alpha[/tex] на някакъв полином, има най-малкото поле което ги съдържа. Ако на него се гледа като на линейно пространство над [tex]\mathbb{Q}[/tex], размерността му е не повече от степента на полинома.
В случая може да намериш като използваш метода на неопр. коефициенти, въвеждаш неизвестни за коефициентите на търсената линейна комбинация и приравняваш, като използваш, че всички по-големи от 3 степени на [tex]\alpha[/tex] се изразяват като комбинация на степените на [tex]\alpha[/tex] от 0 до 3, следва от това че е корен.

[grav]

Аз също смятам, че е странно да имаш да решаваш такава задача, и да нямаш никаква идея какво да правиш!

Ако не ти се занимава с неопределени коефициенти може и така, но сигурно е по-дълго, делейки полиномите (алгоритъм на Евклид) намираш полиноми [tex]a(x)[/tex] и [tex]b(x)[/tex] такива че

[tex]a(x)(x^4+x^3+x^2+x-1)+b(x)(x^2-1)=1[/tex]

Като заместиш с [tex]L[/tex] и имайки предвид, че е корен на първия полином получаваш

[tex]b(L)(L^2-1)=1[/tex]

т.е.

[tex]\frac1{L^2-1}=b(L)[/tex]

от където

[tex]\frac{L}{L^2-1}=Lb(L)[/tex]

Ако има степени по-големи от 3, трябва да използваш отново уравнението за [tex]L[/tex] да ги илиминираш.