Доказателство

[abc]

Да се докаже, че за всяко х принадлежащо на R е изпълнено:
x^2 - x + 0,96> sinx

[Knowledge Greedy]

[tex]x^2 - x + 0,96> sinx[/tex]

Образуваме функцията [tex]f(x)=x^2 - x - sinx[/tex]
[tex]f'(x)=2x - 1 - cosx[/tex]

[tex]f''(x)=2+ sinx[/tex]

[tex]\forall x\in R\Rightarrow[/tex][tex]2+ sinx>0[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]\left.\begin{matrix}
f'(0)= -2<0\\
f'(1)= 1-cos1>0
\end{matrix}\right\}\Rightarrow \exists x_ 0: f'(x_ 0)=0[/tex]
Доказахме, че [tex]f(x)[/tex] притежава локален минимум, [tex]f_{min}(x)=f(x_ 0)[/tex]
при това [tex]x_ 0\in (0;1)[/tex] и остава да оценим този минимум.

За тази цел първо ще уточним местоположението на [tex]x_ 0[/tex].
Пресмятанията по-долу извършваме дори без калкулатор (за 2 часа sorry) .
Знаем, че
[tex]\pi =\frac{355}{113 } \approx 3,1415[/tex]

[tex]f'\left ( \frac{\pi }{3} \right )= \frac{2\pi }{3} - 1 - cos {\frac{\pi }{3}}\approx 0,594[/tex]
[tex]f'\left ( \frac{\pi }{4} \right )= \frac{\pi }{2} - 1 - cos {\frac{\pi }{4}}\approx -0,136[/tex]

[tex]\left.\begin{matrix}
f'(\frac{\pi }{4 } )= -0,136<0\\
f'(\frac{3\pi }{10 })= 0,297>0
\end{matrix}\right\}\Rightarrow x_ 0\in \left ( \frac{\pi }{4 };\frac{3\pi }{10 } \right)[/tex]
(Тук използвахме, че [tex]cos {\frac{3\pi }{10}}=sin {\frac{2\pi }{5}}=\frac{\sqrt{10-sqrt 5}} {4 } \approx 0,951[/tex] [tex](\ast)[/tex])

И сега доказателството.
От [tex]x_ 0>\frac{\pi }{4}\Rightarrow x_ 0^2>\left ( \frac{\pi }{4} \right )^2\approx 0,888[/tex]
От [tex]x_ 0 <\frac{3\pi }{10}\Rightarrow-x_ 0>-\frac{3\pi }{10}\approx - 0,942[/tex]
От [tex]x_ 0 <\frac{3\pi }{10}\Rightarrow-sinx_ 0>-sin{\left ( \frac{3\pi }{10}\right)}\approx -0,809[/tex]

С почленно събиране на трите еднопосочни неравенства, получаваме
[tex]x_ 0^2-x_ 0-sin{\left ( \frac{3\pi }{10}\right)}>\left ( \frac{\pi }{4} \right )^2-\frac{3\pi }{10}-sin{\left ( \frac{3\pi }{10}\right)}[/tex]

Което означава, че [tex]f(x_ 0)>0,888- 0,942-0,809[/tex]

или [tex]f_{min}(x)>-0,863 \Rightarrow[/tex] за всяко реално [tex]x[/tex] [tex]\Rightarrow f(x)>-0,96[/tex], к.т.д.

Последният извод направихме с ясното съзнание, че натрупаната грешка в хилядните няма да окаже влияние на крайния резултат.
И накрая, ето постижението по същия въпрос на Wolfram Alpha (за секунди)

Постижението на Wolfram Alpha.PNG (10.31 KiB) Прегледано 424 пъти