X^2 + Y^2 + Z^2 = 138

[freefresh]

X^2 + Y^2 + Z^2 = 138
XY + XZ + YZ = 131


X=?, Y=?, Z=?

[monika_at]

X^2 + Y^2 + Z^2 = 138
XY + XZ + YZ = 131


X=?, Y=?, Z=?

Това цялата задача ли е или част от задача?

[freefresh]

цялата е

[monika_at]

Система с 3 неизвестни и 2 уравнения- в общия случай е неопределена. От условията можем да намерим сбора на х, у и z, но той ще е следствие от двете уравнения. Пак си виж условието, няма ли нещо за променливите, например да са цели или естествени числа?

[Knowledge Greedy]

Да, задачата трябва да е:

Да се намерят целочислените решения на системата

[tex]\left|\begin{matrix}
X^2 + Y^2 + Z^2 = 138\\
XY + XZ + YZ =131
\end{matrix}\right.[/tex]

Отговор са 96 наредени тройки цели числа, образувани от следните 6 основни групи

Целочислените точки от една сфера и един хиперболоид.PNG (2.97 KiB) Прегледано 510 пъти

Откриването на решенията става като образуваме почленната разлика на двете уравнения и отделяме точни квадрати.
[tex](X-Y)^2 + (Y-Z)^2 + (Z-X)^2 = 14[/tex]
Явно не е възможно някои две от неизвестните да са равни - получава се уравнение от вида [tex]u^2+v^2=14[/tex], за което непосредствено се вижда, че няма целочислени решения.
След това разглеждаме възможността [tex]|Z-X|=1[/tex][tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
\left|\begin{matrix}
|X-Y|=2\\
|Y-Z|=3\end{matrix}\right.\\
\left|\begin{matrix}
|X-Y|=3\\
|Y-Z|=2\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.[/tex]
и т.н.

Ако го няма условието за целочисленост, решенията са безбройно много - върху две окръжности от сферата [tex]X^2 + Y^2 + Z^2 = 138[/tex] (кои са центровете им, колко са големи радиусите им?)

Бихме могли да проведем търсенето и с идеята на monika_at - като умножим второто уравнение по 2, добавим към първото и получим двойка равнини от [tex](X+Y+Z)^2=400[/tex] и дадената сфера [tex]X^2 + Y^2 + Z^2 = 138[/tex]

[Knowledge Greedy]

Тъкмо да си поправя част от грешните сметки и гледам, че са прочетени вече пет пъти
Ето корекциите - в първите 2 групи

Целочислените точки от една сфера и един хиперболоид.PNG (3.05 KiB) Прегледано 504 пъти

Трябва да се има предвид, че не може да се комбинират "+" с "-" и общият брой на целочислените решения е само 12.

[pal702004]

Параметризация и на рационалните решения: [tex](5,8,7)[/tex] и

[tex]x = \frac{5 c^2+6 c+8}{c^2+c+1},\quad y = \frac{8 c^2+10 c+7}{c^2+c+1},\quad z =\frac{7 c^2+4 c+5}{c^2+c+1}\quad \quad \forall c \in Q[/tex]

Това са положителните. Естествено, ако [tex](x,y,z)[/tex] са решения, то и [tex](-x,-y,-z)[/tex] също.