Ирационално уравнение

[exos]

Моля за помощ при решаването на следното уравнение


[tex]\ x= sqrt{x-1/x} + \sqrt{1-1/x}[/tex]

[inveidar]

Моля за помощ при решаването на следното уравнение


[tex]\ x= sqrt{x-\frac{1}{ x} } + \sqrt{1-\frac{1}{ x}}[/tex]

Първо умножи двете страни по разликата на двата корена. Провери дали не умножаваш по нула.

[pal702004]

Дефиниционната област е [tex]x\in [-1;0) \cup [1;+\infty)[/tex] Тъй като при [tex]x<0[/tex] уравнението няма решения (лявата част е отрицателна), разглеждаме само [tex]x \ge 1[/tex] Убеждаваме се, че [tex]x=1[/tex] не е решение и умножаваме двете страни на [tex]\sqrt{x-\frac 1 x}-\sqrt{1-\frac 1 x}[/tex]

[tex]x\left(\sqrt{x-\frac 1 x}-\sqrt{1-\frac 1 x}\right)=x-1[/tex]

След съкращаване на [tex]\sqrt{x-1}[/tex] и[tex]\sqrt x[/tex] в лявата част се стига до

[tex]\sqrt x\left(\sqrt{x+1}-1\right)=\sqrt{x-1}[/tex]

или

[tex]\sqrt{x^2+x}=\sqrt x+\sqrt{x-1}[/tex]

Повдигаме на квадрат, полагаме [tex]\sqrt{x^2-x}=t[/tex]
Получаваме златното сечение

[ins-]

http://cms.math.ca/Competitions/CMO/sol ... l_1998.pdf