Трябва да се представят като линейни уравнения

[Mudkipz]

Може ли някой да ми помогне с тези уравнения?

x^2-8x+16=0

x^2-5x+6=0

* Тези трябва да се представят като линейни уравнения

Ix+2I-4=0

Ix-2I-4=0

[MENKA]

Олеле,майко,страх ме е да отворя учебника.

[Knowledge Greedy]

Да решим тази:
[tex]x^2-5x+6=0[/tex]

Виждал си квадратно уравнение
[tex]ax^2+bx+c=0[/tex]

Погледни сега картинката

Mudkipz.PNG (1.5 KiB) Прегледано 719 пъти

Определяме коефициентите
[tex]a=1[/tex]
[tex]b=-5[/tex]
[tex]c=6[/tex]

Трябва да знаеш що е дискриминанта.
[tex]D=b^2-4ac[/tex]

Пресмятаме я: [tex]D=(-5)^2-4.1.6[/tex]
[tex]D=25-24[/tex]
[tex]D=1[/tex]

Знаеш формулите за корените на квадратното уравнение
[tex]x_1=\frac{-b+\sqrt{D} }{2a }[/tex] и [tex]x_2=\frac{-b-\sqrt{D} }{2a }[/tex]

Заместваш с числата (коефициентите), които определихме под картинката и с дискриминантата [tex]D=1[/tex].
Това е.

Ако по някакъв начин ме увериш, че си решил тази задача и първата, ще помогна и за трета,
и за четвърта.

[math10.com]

Knowledge Greedy,
Kато гледам условията ми се струва, че детето още не е учило корен квадратен и няма да разбере какво си му писал.Това силно ми прилича на входно ниво за 8-ми клас.

[Knowledge Greedy]

Да, math10.com, изглежда си прав. Уравненията с абсолютна стойност ме подведоха - мислех, че и те трябва да бъдат приведени към квадратни и след това да ги разложим на линейни множители.

Ще му напишем тогава и друго решение.

[Knowledge Greedy]

Да предложим друг начин за решаването на
[tex]x^2-5x+6=0[/tex] - чрез разлагане на лявата страна на множители.

Първо да разделим едночлена [tex]5x[/tex] на две събираеми [tex]2x[/tex] и [tex]3x[/tex]
Уравнението става
[tex]x^2-2x-3x+6=0.[/tex]

След това групираме първите два едночлена и вторите два едночлена [tex](x^2-2x)-(3x-6)=0.[/tex]

Изнасяме общ множител [tex]x(x-2)-3(x-2)=0[/tex] - от първите два едночлена това е [tex]x[/tex], а от вторите два едночлена общият множител е числото [tex]3[/tex].

Сега се забелязва нов общ множител [tex](x-2)[/tex] - изнасяме го и него пред скоби
[tex](x-2)(x-3)=0[/tex] - разлагането на множители е извършено.

Сега трябва да направим изводи. Имаме два множителя - единият е [tex](x-2)[/tex] , а другият множител е [tex](x-3).[/tex]
Произведението им е нула, следователно всеки от тях може да е нула.

Значи или [tex]x-2=0[/tex] и тогава [tex]x=2[/tex]

или [tex]x-3=0[/tex] и тогава [tex]x=3[/tex] .

Записваме отговора
Отг. [tex]x_1=2[/tex] и [tex]x_2=3[/tex].

[monika_at]

Да предложим друг начин за решаването на
[tex]x^2-5x+6=0[/tex] - чрез разлагане на лявата страна на множители.

Първо да разделим едночлена [tex]5x[/tex] на две събираеми [tex]2x[/tex] и [tex]3x[/tex]
Уравнението става
[tex]x^2-2x-3x+6=0.[/tex]

Защо разделяме едночлена точно на тези събираеми, а не на други две?

[Knowledge Greedy]

Може и така
[tex]x^2-5x+6=0[/tex]

Представяме [tex]6[/tex] като [tex]10-4[/tex].

Уравнението става [tex]x^2-5x+10-4=0[/tex]
Значи
[tex]x^2-6x+x+6=0[/tex]

Групираме първия и четвъртия едночлен, втория и третия.
[tex](x^2-4)-(5x-10)=0[/tex]

Разлагаме [tex]x^2-4=(x+2)(x-2)[/tex] ,
а от [tex]5x[/tex] и [tex]10[/tex] изнасяме множител [tex]5[/tex].
Уравнението става
[tex](x+2)(x-2)-5(x-2)=0[/tex]

Изнасяме новия общ множител [tex](x-2)[/tex] и получаваме [tex](x-2)[(x+2)-5]=0[/tex].
След това - същото.

[Knowledge Greedy]

Ако ученикът е запознат с техниката "отделяне на точен квадрат" и вече е добър с формулите за съкратено умножение, уравнението [tex]x^2-5x+6=0[/tex] може да да решим и така:
- умножаваме едночлена съдържащ [tex]x[/tex] с [tex]2[/tex] и делим на [tex]2[/tex]
[tex]x^2-2.x.\frac{5}{2} +6=0[/tex] - тук идеята е да се доберем до вида [tex]x^2-2mx+m^2[/tex],
което е въпросният точен квадрат [tex](x-m)^2[/tex].

- след това добавяме и изваждаме третият едночлен
(-завършваме с третия едночлен отговарящ на [tex]m^2[/tex] във формулата).
[tex]x^2-2.x.\frac{5}{2} +\left ( \frac{5}{2} \right )^2+6-\left ( \frac{5}{2} \right )^2=0[/tex]

- отделяме на точен квадрат - с първите три едночлена
[tex]\underbrace{x^2-2.x.\frac{5}{2} +\left ( \frac{5}{2} \right )^2} + \underbrace{6-\frac{25}{4} }=0[/tex]
Ще познаем дали правилно сме приложили метода, ако извън квадрата са останали само числа без едночлени с [tex]x[/tex], извършваме и действията с тези числа.

Получихме [tex]\left ( x-\frac{5}{2} \right )^2-\frac{1}{4 }=0[/tex]

Идва ред на формулата за разлика на квадрати
[tex]\left ( x-\frac{5}{2} \right )^2-\left ( \frac{1}{2} \right )^2=0[/tex]

[tex]\left ( x-\frac{5}{2} + \frac{1}{2} \right )\left ( x-\frac{5}{2} - \frac{1}{2} \right )=0[/tex]

и резултатът е същият [tex](x-2)(x-3)=0[/tex]

[Knowledge Greedy]

Но има и ученици, които съзнателно или не, отделят точния квадрат така, както им хареса или както го забележат от пръв поглед - без да се замислят оставяйки извън квадрата едночлени, съдържащи променливата или неизвестното [tex]x[/tex].

Ето [tex]x^2-5x+6=0[/tex].

Тук може да представим [tex]x^2-6x+x+6=0[/tex].

Вместо веднага да групираме, допълваме до точен квадрат [tex]x^2-6x[/tex].
А именно [tex]x^2-6x+9-9+x+6=0[/tex].

Групираме [tex]\underbrace{x^2-6x+9}+\underbrace{x+6-9}=0[/tex].

[tex](x-3)^2+(x-3)=0[/tex]

[tex](x-3)(x-3)+1.(x-3)=0[/tex]

Изнасяме общия множител [tex](x-3)[/tex] и получаваме същото
[tex](x-3)(x-3+1)=0[/tex]

======================
Ако до този момент някой си е мислел, че за решаване на тази задача има краен брой начини, сега спокойно може да увеличи броя им - начините са безбройно много. (Но изброимо много! )