Уравнение от четвърта степен

[Добромир Глухаров]

[tex]\frac{x^2+1}{x}+\frac{x}{x^2+1}=2,9[/tex]

[tex]u=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2[/tex] - Неравенство СА-СГ.

[tex]u+\frac{1}{u}=2,9[/tex]

[tex]u^2-2,9u+1=0[/tex]

[tex]D=8,41-4=4,41=2,1^2[/tex]

[tex]u_1=\frac{2,9+2,1}{2}=2,5[/tex]

[tex]u_2=\frac{2,9-2,1}{2}=0,4<2\Rightarrow[/tex] няма съответни x.

[tex]x+\frac{1}{x}=2,5[/tex]

[tex]x^2-2,5x+1=0[/tex]

[tex]D=6,25-4=2,25=1,5^2[/tex]

[tex]x_1=\frac{2,5+1,5}{2}=2[/tex]

[tex]x_2=\frac{2,5-1,5}{2}=\frac{1}{2}[/tex]

Общо два реални корена.