уравнение

[mathinvalidnik]

Да се намерят стойностите на m ,за които уравнението има 4 различни реални корена.

[tex](x^{2}-2x+2)^{2}-m(x^{2}-2x+2)+3=0[/tex]

[martosss]

[tex]x^2-2x+2=(x-1)^2+1\ge 1[/tex], откъдето ако го положиш на t, то трябва полученото квадратно уравнение да има два различни корена, които да са по-големи от 1
Тогава ако корените са ти [tex]t_1[/tex] и [tex]t_2[/tex], то получаваш точно 4 различни корена:
[tex]\pm\sqrt{t_1-1}, \pm\sqrt{t_2-1}[/tex].
остава само да решиш полученото уравнение и да провериш кога и двата корена стават по-големи от 1(не равни, а строго по-големи ).

[martin123456]

разглеждаме уравнението (*)[tex]x^2-2my+2=y[/tex]. то има [tex]D=4-4(2-y)=4(y-1)[/tex]. има максимално 2 реални корена.
разгеждаме уравнението (**)[tex]y^2-my+3=0[/tex]. то има [tex]D=m^2-12[/tex]. има максимално 2 реални корена.
оттук п;равим извод че за да има оригиналното уравнение 4 реални корена трябва (*) и (**) да има по реални корена.
за (**) ако има 2 равни реални корена, то имаме един и същ y от който произлит максимално 2 решения на (**).
значи (**) трябва да има [tex]D > 0[/tex] и и двата корена да са по големи или равни на 1. но ако някой от тях е равен на 1, то (*) ще има двоен корен, което не ни устройва.
(А) значи (**) [tex]D>0[/tex] и да има два по големи от 1 корена
(B) за (*), ако има 2ен корен не ни устройва. значи неговата дискриминанта > 0.
оства да видим 4те корена да са различни - имам че в двойки от получените решения на (**) това е така. проблем е ако [tex]x_i=x_j[/tex], [tex]i=1,2[/tex],[tex]j=3,4[/tex] за някои 2 такива индекса.
имаме [tex]x_1+x_2=2m=x_3+x_4[/tex] и [tex]x_1x_2=y_1[/tex] и [tex]x_3x_4=y_2[/tex]
допускаме [tex]x_1=x_3[/tex], например => [tex]x_2=x_4[/tex]=>[tex]y_1=y_2[/tex], което е невъзможно.
значи (A),(B) са достатъчни

[mathinvalidnik]

Ето още едно параметрично:
За кои стойности на а корените на уравнението са цели числа?

[tex]1+log_{x}\frac{4-x}{10 }=[lg(2+lga)-1].log_{x}10[/tex]

[martin123456]

само началото
от ДМ: [tex]x>0 \cap x \ne 1 \cap x<4[/tex]. значи ако уравне нието има цял корен той е 2 или 3
и трябва сега да се реши уравнението относно а

[mathinvalidnik]

Има готин момент в решението.не е лошо да се реши .

п.п ако някой има задачи от този тип ще съм благодарен да ми ги изпрати на ЛС.