Ирационално уравнение от четвърта степен

[Zarrie]

[tex]\sqrt[4]{97-x}+\sqrt[4]{x}=5[/tex]

[pal702004]

След полагане [tex]\sqrt[4]{x}=u,\;\sqrt[4]{97-x}=v[/tex] получаваме система:

[tex]\begin{cases}u+v=5 \\ u^4+v^4=97 \end{cases}[/tex]
Тук са възможни два подхода: да изразим едната променлива от първото уравнение и да подставим във второто като получим уравнение от 4-та степен и вторият -да означим [tex]uv=a[/tex] и да се възползваме от рекурсивната формула за сумата на n-тите степени:

[tex]u^n+v^n=(u+v)(u^{n-1}+v^{n-1})-uv(u^{n-2}+v^{n-2})[/tex]

[tex]u^0+v^0=2\\u^1+v^1=5\\u^2+v^2=25-2a\\u^3+v^3=5(25-2a)-a\cdot 5=5(25-3a)\\u^4+v^4=25(25-3a)-a(25-2a)=2a^2-100a+625[/tex]

[tex]2a^2-100a+625=97\;\Rightarrow a^2-50a+264=0[/tex]

[tex]a_1=6,a_2=44[/tex]

Получаваме две системи:
[tex]\begin{cases}u+v=5 \\ uv=6 \end{cases}[/tex]
и
[tex]\begin{cases}u+v=5 \\ uv=44 \end{cases}[/tex]

първата с реални (цели) корени, втората - с комплексни.

[Zarrie]

Благодаря ти, pal
Въобще не съобразих, че е възможен такъв подход.

[ptj]

D.M.:[tex]0\le x \le 97[/tex]
Функцията [tex]f(x)=\sqrt[4]{97-x}+\sqrt[4]{x}[/tex], очевидно е симетрична спрямо [tex]\frac{97}{2}[/tex], затова е логично да предположим че тя има локален екстремум в тази точка, а в двата клона вляво и вдясно от нея е или растяща- намаляща или обратното.

Раглеждаме първата производна [tex]f'(x)=\frac{1}{4.x^{\frac{3}{4}}}-\frac{1}{4.(97-x)^{\frac{3}{4}}}[/tex]и доказваме горната хипотеза,
тогава очевидните решения за [tex]f(x)=5 :[/tex][tex]x=16[/tex] и [tex]x=81[/tex] са единствени.

[Zarrie]

Много оригинално решение! Харесва ми! Благодаря ти!