Ирационално уравнение

[eviL!]

Мъча се от вчера с две уравнения,ако някой може само идея да ми даде
http://prikachi.com/images.php?images/5/8407005q.jpg
Пробвах да полагам или да дигна на квадрат,но ми се струва че така се усложнява много.

[Nathi123]

[tex]\sqrt{x+8+2\sqrt{x+7}} + \sqrt{x+1-\sqrt{x+7}}[/tex]=4[tex]\Rightarrow[/tex] x[tex]\ge-7[/tex].Нека [tex]\sqrt{x+7}[/tex]=y[tex]\Rightarrow y\ge0[/tex], получаваме уравнение за у : [tex]\sqrt{y^{2}+2y+1}+\sqrt{y^{2}-y-6}[/tex]=4, [tex]y^{2}-y-6\ge0[/tex] и y[tex]\ge0[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] y[tex]\in[3,\infty[/tex]).[tex]\sqrt{y^{2}+2y+1}=\sqrt{(y+1)^{2}}[/tex]=|y+1|=y+1 за y[tex]\in[3,\infty)[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\sqrt{y^{2}-y-6}[/tex]=3-y[tex]\Rightarrow[/tex] 3 - y [tex]\ge0 \Leftrightarrow y\le 3[/tex] и y[tex]\in[3,\infty[/tex] )[tex]\Rightarrow[/tex] y = 3 [tex]\Rightarrow \sqrt{x+7}[/tex] =3 [tex]\Leftrightarrow[/tex] x=2.

[eviL!]

[tex]\sqrt{x+8+2\sqrt{x+7}} + \sqrt{x+1-\sqrt{x+7}}[/tex]=4[tex]\Rightarrow[/tex] x[tex]\ge-7[/tex].Нека [tex]\sqrt{x+7}[/tex]=y[tex]\Rightarrow y\ge0[/tex], получаваме уравнение за у : [tex]\sqrt{y^{2}+2y+1}+\sqrt{y^{2}-y-6}[/tex]=4, [tex]y^{2}-y-6\ge0[/tex] и y[tex]\ge0[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] y[tex]\in[3,\infty[/tex]).[tex]\sqrt{y^{2}+2y+1}=\sqrt{(y+1)^{2}}[/tex]=|y+1|=y+1 за y[tex]\in[3,\infty)[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\sqrt{y^{2}-y-6}[/tex]=3-y[tex]\Rightarrow[/tex] 3 - y [tex]\ge0 \Leftrightarrow y\le 3[/tex] и y[tex]\in[3,\infty[/tex] )[tex]\Rightarrow[/tex] y = 3 [tex]\Rightarrow \sqrt{x+7}[/tex] =3 [tex]\Leftrightarrow[/tex] x=2.

След като положим x+7=y как се получава уравненето за у?

[Nathi123]

[tex]\frac{4}{x+\sqrt{x^{2}+x}} - \frac{3}{x} = \frac{1}{x-\sqrt{x^{2}+x}}[/tex] Д.С. [tex]x\ne0[/tex] , [tex]x^{2}+x \ge 0[/tex] и [tex]\sqrt{x^{2}+x}\ne x[/tex].Привеждаме под общ знаменател и се освобождаваме от знаменател. Получаваме [tex]4x^{2} - 4x\sqrt{x^{2}+x} + 3x =x^{2}+x\sqrt{x^{2}+x}[/tex]. От където [tex]x^{2}+x - x\sqrt{x^{2}+x}[/tex] = 0 . Разлагаме лявата страна на уравнението на множители : [tex]\sqrt{x^{2}+x}(\sqrt{x^{2}+x}-x) = 0[/tex] [tex]\sqrt{x^{2}+x}[/tex] [tex]\ne x[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\sqrt{x^{2}+x }=0[/tex],но [tex]x\ne 0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] x = - 1 .

[Nathi123]

Полагаме [tex]\sqrt{x+7}[/tex] = y [tex]\Rightarrow[/tex] y [tex]\ge 0[/tex] и x= [tex]y^{2}- 7 , тогава [tex] \sqrt{x+8 +\sqrt{x+7}} = \sqrt{y^{2}+2y+1}=|y+1| = y+1[/tex] ( y[tex]\ge 0[/tex] ) и [tex]\sqrt{x+1+\sqrt{x+7}}=\sqrt{y^{2}-y-6}[/tex].Т.е. получаваме уравнение с един квадратен корен,който оставяме от лявата страна на уравнението ,а другите събираеми (алгебричен сбор) прехвърляме от дясно.

[eviL!]

Полагаме [tex]\sqrt{x+7}[/tex] = y [tex]\Rightarrow[/tex] y [tex]\ge 0[/tex] и x= [tex]y^{2}- 7 , тогава [tex] \sqrt{x+8 +\sqrt{x+7}} = \sqrt{y^{2}+2y+1}=|y+1| = y+1[/tex] ( y[tex]\ge 0[/tex] ) и [tex]\sqrt{x+1+\sqrt{x+7}}=\sqrt{y^{2}-y-6}[/tex].Т.е. получаваме уравнение с един квадратен корен,който оставяме от лявата страна на уравнението ,а другите събираеми (алгебричен сбор) прехвърляме от дясно.

Срещах трудност при преобразуването на уравнението след полагането,но сега ми се изясни.След това става лесничко.

Благодаря ти!