Задача за решаване с 12позиционен калкулатор за 3ч

[b956]

ДА СЕ НАМЕРИ НАЙ - БЛИЗКАТА ДО НУЛА СТОЙНОСТ НА ИЗРАЗА
( X + 1 )^3 + 3X + 8 , ЗА X = P/Q , P и Q ЦЕЛИ, и 0 < Q < 1 МИЛИОН .
ЗАДАЧАТА ДА СЕ РЕШИ С ПОМОЩТА НА 12 или ПОВЕЧЕ ПОЗИЦИОНЕН КАЛКУЛАТОР ЗА ОКОЛО 3 ЧАСА.
ДА НЕ СЕ ПРАВИ ИЛИ ПОЛЗВА СПЕЦИАЛНА ЗА СЛУЧАЯ КОМПЮТЪРНА ПРОГРАМА .

[Knowledge Greedy]

Дай оригиналното условие, не превода. Защото като отговор веднага очакваме нещо от вида 0,000 000 000 001.

Иначе задачата може да се разбира така.
Даден е полиномът [tex]f(x)=(x+1)^3+3x+8[/tex] на рационална променлива [tex]x[/tex].
Разполагаме с калкулатор, който има 12 позиции за значещи цифри след десетичната запетая.
а) Да се реши приближено уравнението [tex]f(x)=0[/tex] с точност до [tex]10^{-6}[/tex] (това означава да се намери рационално число [tex]x[/tex] от вида [tex]x=\frac{p}{q}[/tex], като [tex]p[/tex] и [tex]q[/tex] са цели и [tex]0<q<1000000=10^6[/tex]).
б) Да се пресметне [tex]f \left ( \frac{p}{q} \right )[/tex] за така намереното приближение на корена [tex]x=\frac{p}{q}[/tex].
_______________
Решение:
Ако имаш само калкулатор, може да действаш по следната схема.
Даваш за стойност на [tex]x[/tex] произволно число. Означаваме го с [tex]x_1[/tex].
Построяваме редица [tex]\left \{ x_n \right \}_{n=1}^\infty[/tex] с рекурентната формула [tex]\forall n\ge 2 \,\ \Rightarrow \,\ x_n= \frac{-5}{x_{n-1}^2+2x_{n-1}+4}-1 \,\ (\ast)[/tex]
Няма да имаш нужда от 3 часа, защото процесът е бързо сходящ и след няколко минути при нормално натискане на копчетата, ще получиш приближение за корена [tex]x=-2,154171495181[/tex] на практика много преди необходимата [tex]62[/tex]-ра стъпка. След нея винаги [tex]f(x)=0[/tex].
А стойността [tex]f(-2,154171495181)=0,000000000001[/tex]
Следващите стойности на [tex]f(x_n)[/tex] (приближения на [tex]f(x)[/tex]) са нули, независимо с какво число [tex]x_1[/tex] започваш.
Причината е в конструираната редица [tex]\left \{ x_n \right \}_{n=1}^\infty[/tex], която е сходяща към единствения реален корен на уравнението [tex]f(x)=(x+1)^3+3x+8=0[/tex]
_______________
А ето как ще изглеждат сметките подредени в таблица, ако първото [tex]x_1=-1[/tex]

Решаване на уравнение с рекурентна редица.png (6.65 KiB) Прегледано 1058 пъти

Забележи колко близо до нулата е числото в десния долен ъгъл на таблицата.

Решаване на уравнение с рекурентна редица2.png (5.64 KiB) Прегледано 1058 пъти

____________
Първият ред в таблицата е създаден , за да се използва формулата [tex](\ast)[/tex] на втория ред. А на третия ред се нанасят стойностите на дадения израз.

[b956]

Do Knowledge Greedy : АЗ СЪМ ВИ БЛАГОДАРЕН ЗА ИНТЕРЕСА , БЪРЗИНАТА И НЕМАЛКОТО ВРЕМЕ ЗА РЕШАВАНЕТО И НАПИСВАНЕТО НА РЕШЕНИЕ НА ЗАДАЧАТА .
СЕГА ПИША ЕДНО УЛЕСНЕНИЕ ЗА РЕШЕНИЕ НА ЗАДАЧАТА , КОЕТО ДАЛЕЧ НЕ Е НАЙ-ВАЖНОТО ЗА РЕШЕНИЕТО . ЗАДАЧАТА Е РАВНОСИЛНА НА СЛЕДНОТО : ДА СЕ НАМЕРИ ЧИСЛО Х : X= P/Q , P и Q - ЦЕЛИ И 0 < Q < 1 MILION и
X НАЙ БЛИЗКО ДО -2,154 171 495 181 441 267 ZZZ ZZZ ZZZ ...
АЛГОРИТЪМА Е ЗАБЕЛЕЖИТЕЛЕН И ПО СВОЯТА ПРОСТОТА ( НЕ В СМИСЪЛ НА ГЛУПОСТ) .

[Добромир Глухаров]

Трябва да представим [tex]-2,154 171 495 181 441 267 ZZZ ZZZ ZZZ[/tex] във вид на верижна дроб и после да вземем максимално възможно толкова звена, че знаменателят на получената "нормална" дроб да не надминава един милион.

[tex]2\frac{1}{6\frac{1}{2\frac{1}{17\frac{1}{1\frac{1}{2\frac{1}{1\frac{1}{1\cdots}}}}}}}[/tex]

[b956]

ДВА ИНТЕРЕСНИ ПРИМЕРА, КОИТО ПОЯСНЯВАТ ЗАДАЧАТА :
ЗА Q <100 =10^2 , РЕШЕНИЕТО Е :
P = -28 , Q=13 , X = -28 / 13 - TOЧНОТО Х .
X = -28 / 13 = -2,153 846 153 ...
РАЗЛИКАТА НА X И X0 = -2,154 171 495 181
E 0, 000 325 341 < 0,001 = 10^-3.

ЗА Q < 100 000 = 10^5 , РЕШЕНИЕТО Е :
P = - 37181 , Q = 17 260 , X = -37 181 / 17 260 - TOЧНОТО Х .
X = - 37 181 / 17 260 = -2,154 171 494 785 ...
РАЗЛИКАТА НА X И X0= -2,154 171 495 181 ZZZ ...
E 0,000 000 000 395
< 0,000 000 001 = 10^-9

[pal702004]

ЗА Q < 100 000 = 10^5 , РЕШЕНИЕТО Е :
P = - 37181 , Q = 17 260 , X = -37 181 / 17 260

Сигурен ли си?

[b956]

___ОЗНАЧАВАМЕ C= 2.154 171 495 181 441 267 371 117 ... HЕКА P и Q - ПРОИЗВОЛНИ ЦЕЛИ > 0 .P/Q = C + eps . ОТ ТУК P = QxC + Q x eps .
___НЕКА QxC = I,D В ДЕСЕТИЧЕН ВИД , КАТО I Е ЦЯЛАТА ЧАСТ , A 0,D -ДРОБНАТА .
---> I,D / Q _=_ C . __OT_ I < I,D < I+1 _-->_ I/Q _<_ I,D / Q _<_ (I+1) / Q __ ИЛИ
I/Q < C < (I+1)/ Q . TAKA ЧЕ ЗА ПРОИЗВОЛНО Q , __ ПРИ P = I ИЛИ P= I+1 ,__P/Q Е НАЙ-БЛИЗО ДО C ( КАТО _ I и 0,D _СЕ ОПРЕДЕЛЯТ ОТ _QxC = I,D _И НАВСЯКЪДЕ ПО-НАТАТЪК).
РАЗСТОЯНИЯТА НА__I/Q__И__(I+1)/Q__ДО__C__СА СЛЕДНИТЕ :
I/Q - C _ = _ I/Q _-_ I,D / Q ___=__ I/Q - (I/Q + 0,D/Q) = -0,D /Q ;
(I+1)/Q - C = (I +1) Q - (I/Q +0,D /Q ) = (1-0,D ) /Q ,
T.E.__ I/Q = C _- _0,D / Q __;__ (I+1)/Q = C + (1-0,D)/Q .
___ПО УКАЗАНИЯ ПО-ДОЛУ НАЧИН ЗА НАМИРАНЕ НА P и Q , TЪРСИМЕ ТАКИВА ЧИСЛА Q , ЧЕ ГОРЕУКАЗАНОТО 0,D ДА Е БЛИЗО ДО 0 ИЛИ 1 И ЗА P ВЗИМАМЕ I ИЛИ I+1 СЪОТВЕТНО .
ТОГАВА P/Q = C - 0,D /Q
ИЛИ ... P/Q = C + (1-0,D) / Q . OT ЧИСЛАТА P и Q НАМИРАMЕ ДРУГИ ЧИСЛА P и Q , ТАКА ,ЧЕ НЕ 0,D ИЛИ 1-0,D ДА Е МИНИМАЛНО ,A__ 0,D/Q__ ИЛИ __(1-0,D)/Q __ДА Е МИНИМАЛНО .
СЛЕДВА НАЧИНА НА ТЪРСЕНЕ :
ПРАВИМЕ СИ ТАБЛИЦА ОТ ТРИ КОЛОНИ - В ПЪРВАТА КОЛОНА ПИШЕМ НОМЕРАТА НА СЪОТВЕТНИЯ РЕД n, В ВТОРАТА КОЛОНА ЦЕЛИ ЧИСЛА КОИТО ЩЕ ОЗНАЧАВАМЕ С Q ИЛИ Qn (ЧИСЛОТО НА n-ТИЯ РЕД) И ЗА КОИТО ЩЕ КАЖЕМЕ КАК ГИ ИЗБИРАМЕ ,
В ТРЕТАТА КОЛОНА -СРЕЩУ ВСЯКО ЧИСЛО Qn - ЧИСЛОТО Qn x C В ДЕСЕТИЧЕН ВИД = In,Dn ( С ЦЯЛА ЧАСТ In И ДРОБНА ЧАСТ 0,Dn ) .
___________Q___Q X (C= 2, 154 171 495 181 441 267 371 117 ...) = I.D = I + 0,D
1)_________7_________15, 079 200 466 270
2)________13_________28, 004 229 437 358 736n
3)_______240________517, 001 158 843 545 904
4)_______947_______2040, 000 405 936 824 880
5)_____2 601_______5 603, 000 058 966 928 736
6)____17 260______37 181, 000 006 831 676 274 825
7)___152 739_____329 026, 000 002 518 157 736 997
8)___440 957____ 949 897, 000 000 722 796 936 165
9)_1 170 132___2 520 664, 999 999 650 233 071 499
ВСИЧКИ РЕДОВЕ ОТ 3) ДО 9) СА СЪСТАВЕНИ ПО ЕДНО ПРАВИЛО, ЗАТОВА ЩЕ УКАЖЕМЕ КАК Е СЪСТАВЕН РЕД 8).
//// ДЕФИНИЦИЯ И ОЗНАЧЕНИЕ : ЗА 0,D СЪОТВЕТСТВАЩO НА НЯКАКВO Q , СЪС_ "B" _( ОТ ДУМАТА "БЛИЗОСТ") ЩЕ ОЗНАЧАВАМЕ ПО-МАЛКОТО ОТ ЧИСЛАТА 0,D ИЛИ 1 - 0,D .
__ПРИ НАЧИНА НА СЪСТАВЯНЕ НА РЕДОВЕТЕ ОТ 2 ДО 9 (R2-R9) ,
____ЗА ВСЯКО n=2,9 Е ВЕРНО СЛЕДНОТО:
______ЗА ВСЯКО Q < Qn (Qn - ОТ ТАБЛИЦАТА, Я - ПРОИЗВОЛНО) Е ИЗПЪЛНЕНО :
_________1) __B > Bn
_________2) _АКО 0,D(n-1) I 0,Dn СА И ДВЕТЕ БЛИЗО ДО 0, ИЛИ И ДВЕТЕ БЛИЗО ДО 1 ,
________________ТО Qn E НАЙ-МАЛКОТО ЧИСЛО , ЗА КОЕТО Е ИЗПЪЛНЕНО:
______________________ Q(n-1) < Qn _и_ B > Bn .
ТОВА СЕ НУЖДАЕ ОТ ДОКАЗАТЕЛСТВО , КОЕТО НЯМА ДА ДАВАМЕ .
_____РЕД 2) Е СЪСТАВЕН С НЕПОСРЕДСТВЕНА ПРОВЕРКА НА__ 1) __B > Bn __,ПО-ПОДРОБНО ЗА КОЕТО Е КАЗАНО НЯКОЛКО РЕДА ПО-ГОРЕ.
_____ЗАПОЧВАМЕ ДА ПРОВЕРЯВАМЕ КОЯ ЧАСТИЧНА СУМА НА ИЗРАЗА :
Q7xC + Q7xC + Q7xC + Q7xC + Я7ЍЦ + ... , НЕЙНАТА ( НА ЧАСТИЧНАТА СУМА) ДРОБНА ЧАСТ 0,D СЕ ДОБЛИЖИ МАКСИМАЛНО ДО ДРОБНАТА ЧАСТ 0,D6 = 0,000 006 831 676 ... НА Q6xC.
ТОВА СТАВА ПРИ 3 СЪБИРАЕМИ Q7xC = 329 026, 000 002 518 157 ...
ЗА Q8xC ЗАПИСВАМЕ 3 x Q7xC - Q6xC , А ЗА Q8 ЗАПИСВАМЕ 3xQ7 - Q6 .
//// ДЕФИНИЦИЯ И ОЗНАЧЕНИЕ :НАКРАТКО ЩЕ КАЗВАМЕ ,ЧЕ РЕДЪТ 8)(R8) = 3xR7 - R6 .
ПО СЛУЧАЙНОСТ ЗА ВСЕКО n =3,8 ИМАМЕ 0,Dn БЛИЗО ДО 0 , А НЕ БЛИЗО ДО 1 .
ДО ТУК АЛГОРИТЪМА ГАРАНТИРА ,ЧЕ ЗА Q <= Q8 =440 957
ПРИ Q = 440 957 P= 949 897 P/Q = 2,154 171 495 179 802 ... Е МАКСИМАЛНО БЛИЗО ДО C.
ЗА ДА НАМЕРИМЕ ТЪРСЕНОТО Q < 1 МИЛИОН И ЧРЕЗ НЕГО СЪОТВЕТНОТО P , НАМИРАМЕ (ЧИСЛАТА НА) РЕД 9) ПО АБСОЛЮТНО ПОДОБЕН НАЧИН КАТО РЕД 8),КАТО ЩЕ ПОЛУЧИМ _______R9 = 3xR8 - R7 , НО Q9 > 1 МИЛИОН . (СЛУЧАЙНОСТ Е ПОВТОРЕНИЕТО НА "3" .)
СЛЕД ТОВА НАМИРАМЕ ВСИЧКИ РЕДОВЕ( НЕ УКАЗАНИ В ГОРНАТА ТАБЛИЦА )
_______R _= JxR8 -R7 , ZA 1 < J < 3 ,
И ЗА ВСЕКИ РЕД, НАМИРАМЕ ЗА ЧИСЛАТА _P и Q _ОТ ТОЗИ РЕД ,КОЛКО Е P/Q -C
НО В СЛУЧАЯ ЕДИНСТВЕНО ВЪЗМОЖНОТО_ J _E_ J=2 . РЕДЪТ 2xR8 - R7 ДАВА ДВОЙКАТА ЧИСЛА :
Q=2 x 440 957 - 152739 = 729 175 ,
QxC = 2 x 949 897,000 000 722 796 ... - 329 026,000 002 518 157 ... =
____= 1 570 767, 999 998 927 436 136 ... = I,D __ОТ КЪДЕТО ЗА P ПОЛУЧАВАМЕ
__P = 1 570 768 , КОЕТО СА ТЪРСЕНИТЕ ЧИСЛА P и Q ZA X .
X = P/Q = 2,154 171 495 182 912 ...
РЕШЕНИЕТО ЗА Q < 100 000 :
ЗА ТАБЛИЧНИЯ РЕД 7) СЕ ПОЛУЧАВА : R7 = 9xR6 - R5 .
ПРОВЕРЯВАМЕ РЕДОВЕТЕ : JxR6 - R5 , J = 2,5 _И ЗА J=5 ПОЛУЧАВАМЕ ТЪРСЕНИТЕ _P_ I_ Q
R = 5xR6 -R5 = (Q=83 699 ,QxC = 180 301, 999 975 191 452 ... ) --> P = 180 302 ,
X = 180 302 /83 699 = 2,154 171 495 47 ...
СЛЕДВА ДА СЕ КАЖЕ КАК СЕ ПРОЦЕДИРА СЛЕД ТАБЛИЧЕН РЕД , ЗА КОЙТО_ 0,D _Е БЛИЗО ДО 1, НО ТОВА ЕВЕНТУАЛНО В ДРУГО "МНЕНИЕ".

[pal702004]

Виж сега, това, което получаваш като резултат са подходящите дроби (верижната дроб в нормален вид) на ирационалното число, за което писа Добромир Глухаров. При това при теб са само половината - по добре прочети някъде в нета как да се получат, вместо да откриваш топлата вода. Навярно това и се иска в задачата, но в такъв случай е формулирана доста нескопосано. Защото подходящите дроби гарантират най-добро рационално приближение от всички дроби, със знаменател не по-голям от нейният, но не и до някакво конкретно число.
В даденият случай най-доброто приближение дават:

за [tex]Q<10^5,\quad -\frac{180302}{83699}[/tex]

за [tex]Q<10^6,\quad -\frac{1570768}{729175}[/tex]

Опа, сега забелязвам, че си ги получил тези дроби:):) (извинявай, не четох до края - трудно е)

[b956]

МОЯ МЕТОД НЕ Е ВАРИАЦИА НА МЕТОДА С ВЕРИЖНА ДРОБ . ПОЛУЧАВАНЕТО НА ВЕРИЖНАТА ДРОБ АЗ НАРИЧАМ "ПРАВ ХОД" , А СЛЕД ТОВА С "ОБРАТЕН ХОД" ПОЛУЧАВАМЕ ТЪРСЕНОТО P/Q. ПРИ МОЯ МЕТОД НЕ ВИЖДАМ "ОБРАТЕН ХОД" . ПРИ ПРОВЕРКА С 9 И 12 ПОЗИЦИОННИ КАЛКУЛАТОРИ ПРЕДИ МАЛКО НА КОНКРЕТНИЯ СЛУЧАЙ ВИДЯХ ,ЧЕ МАЛКО СЛЕД ПОСЛЕДНАТА ДРОБНА ЧЕРТА В КОМЕНТАРА НА ДОБРОМИР ГЛУХАРОВ ПОЛУЧЕНИТЕ ЧИСЛА НЯМА ДА СА ВЕРНИ И ПРИЧИНАТА Е В НЕДОСТАТЪЧНИТЕ ВЪЗМОЖНОСТИТЕ НА 12 ПОЗИЦИОННИЯ КАЛКУЛАТОР . ЗА УВЕРЕНИЕ - ЗНАМ , ЧЕ ЧИСЛОТО 6 ПРЕД ВТОРАТА ДРОБНА ЧЕРТА
Е ЦЯЛАТА ЧАСТ НА 1 / 0,154 171 495 181 ;
ЧИСЛОТО 2 ПРЕД ТРЕТАТА ДРОБНА ЧЕРТА
Е ЦЯЛАТА ЯАСТ НА 1 / 0,486 283 335 480 ; И Т.Н.
И МАЛКО СЛЕД 7-ОТО ДЕЛЕНИЕ 1 / 0,ZZZ ZZZ ZZZ ZZZ ... ИМА НЕВЕРНИ ЦЕЛИ ЧАСТИ .
ПРИ МОЯ МЕТОД ИМА САМО СЪБИРАНЕ И ИЗВАЖДАНЕ И ПОРАДИ ТОВА РЕЗУЛТАТИТЕ СА ОЩЕ ТОЧНИ ПРИ ПО-ГОЛЕМИ ЧИСЛА .
МОЯ МЕТОД ИМА ВЪЗМОЖНОСТ ЗА ПО-ГОЛЕМА БЪРЗИНА .
МОЯ МЕТОД СЕ ОСНОВАВА НА МНОГО ПРОСТА ИДЕЯ , КОЯТО НЕ СЪМ Я КАЗАЛ И ЗАТОВА
ЗАСЛУЖАВА ВНИМАНИЕ НЕ ПО-МАЛКО ОТ МЕТОДА С ВЕРИЖНА ДРОБ.
ПРИ ИЗЛОЖЕНИЕТО НА МОЯ МЕТОД В ПРЕДИШНОТО МИ МНЕНИЕ ИМА ПЕЧАТНИ ГРЕШКИ И НЕЯСНОСТИ , КОИТО ЗАТРУДНЯВАТ РАЗБИРАНЕТО.