Доказване на тъждество в равенство с параметри

[Davids]

Материалът се води като трета задача на общинско ниво на олимпиадата за 9-ти клас по математика. Разглеждах я и вкъщи, но не можах да стигна до решението. Бих помолил за съдействие
Трябва да се докаже, че ако
a + b + c = 2015, то
[tex]\frac{a^{3}}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^{3}}{(b-a)(b-c)} + \frac{c^{3}}{(c-a)(c-b)} = 2015[/tex]
Всяко мнение е добре дошло. Благодаря!

[Knowledge Greedy]

[tex]\frac{a^3}{(a−b)(a−c)}+\frac{b^3}{(b−a)(b−c)}+\frac{c^3}{(c-a)(c−b)}=2015[/tex]
Преобразуваме лявата страна - като първоначално привеждаме към общ знаменател
[tex]-\frac{a^3(b−c)+b^3(c-a)+c^3(a−b)}{(a−b)(b−c)(c-a)}=-\frac{a^3(b−c)+b^3(c-a)+c^3(a−c+c-b)}{(a−b)(b−c)(c-a)}=[/tex]
[tex]=-\frac{\left ( a^3-c^3 \right )(b−c)+\left ( b^3-c^3 \right )(c-a)}{(a−b)(b−c)(c-a)}=[/tex]

[tex]=-\frac{(a-c)\left ( a^2+ac+c^2 \right )(b−c)+(b−c)\left ( b^2+bc+c^2 \right )(c-a)}{(a−b)(b−c)(c-a)}=[/tex]

[tex]=-\frac{ \left [ b^2+bc+c^2- \left( a^2+ac+c^2 \right )\right ](b−c)(c-a)}{(a−b)(b−c)(c-a)}=[/tex]

[tex]=-\frac{ \left ( b^2- a^2+bc-ac \right )(b−c)(c-a)}{(a−b)(b−c)(c-a)}=[/tex]

[tex]=-\frac{ (b- a)(b+a+c)(b−c)(c-a)}{\cancel{(a−b)(b−c)(c-a)}}=a+b+c[/tex]
- накрая след съкращаване на целия знаменател [tex](a−b)(b−c)(c-a)[/tex] със същия множител, получен в числителя (включително и минуса пред цялата дроб).

И тъй като по условие е дадено, че [tex]a+b+c=2015[/tex], то сборът на трите дроби е също толкова.

[Davids]

Благодаря искрено. Ако трябва да съм честен, никога нямаше да стигна до тук така или иначе... Ех, че ценно знание е тази математика.