Параметрично уравнение

[sisoko15]

За кои стойности на параметъра k уравнението: [tex]k.2^{(x^2+x)}-2^{(-x^2-x)}=1-k[/tex] има единствен положителен корен?

[Aro]

[tex]z=2^{x^2+x}[/tex]
[tex]kz-z^{-1}=1-k |.z[/tex]
[tex]kz^2-(1-k)z-1=0[/tex]
[tex]z_{1,2}=\frac{1-k\pm \sqrt{(k+1)^2}} {2k}[/tex]
[tex]z_1=\frac{1}{k}[/tex] [tex](k\neq 0)[/tex]
[tex]z_2=-1[/tex], но [tex]2^{x^2+x}[/tex] не може да е отрицателно.
(Бележка: ако вземем [tex]D=0[/tex], то [tex]k=-1[/tex] и [tex]z=-1[/tex])

Значи остава
[tex]2^{x^2+x}=\frac{1}{k}|lg[/tex]
[tex]lg2.x^2+lg2.x-lg(\frac{1}{k})=0[/tex]
[tex]lg(\frac{1}{k}) \Rightarrow \frac{1}{k}>0; k>0[/tex]
(Бележка: ако вземем [tex]D=0[/tex], [tex]x=-\frac{1}{2}[/tex])
[tex]x_{1,2}=\frac{-lg2\pm\sqrt{(lg2)^2+4lg2.lg(\frac{1}{k})}}{2lg2}[/tex]
[tex]x>0[/tex] и [tex]2lg2>0 \Rightarrow[/tex] числителят също трябва да се положителен.
[tex]-lg2\pm\sqrt{(lg2)^2+4lg2.lg(\frac{1}{k})}=0[/tex]
[tex]k=1[/tex]
[tex]-lg2\pm\sqrt{(lg2)^2+4lg2.lg(\frac{1}{k})}>0[/tex]
[tex]4lg2.lg(\frac{1}{k})>0[/tex]
[tex]lg2>0 \rightarrow lg(\frac{1}{k})>0 \rightarrow k<1[/tex]
[tex]k\in(0;1)[/tex]
Като направим проверка, единият корен на уравнението е положителен, другият - отрицателен.