Уравнения от примерни матури

[Aizui]

Задача 1: Решете уравнението

[tex]x^2+3x+8-4\sqrt{x^2+3x+5} = 0[/tex]

Задача 2: Решете уравнението

[tex]\frac{\sqrt{4x+1}}{3}+\frac{3}{\sqrt{4x+1}} = 2[/tex]

Задача 3: Решете уравнението

[tex]\sqrt{2x+4}=\frac{4x^2}{\sqrt{8(x+2)}}[/tex]

Задача 4: Решете уравнението

[tex](x-3)\sqrt{x^2-5x+4}=2x-6[/tex]

Задача 5: Намерете най-малкия положителен корен на уравнението

[tex](x^2-11x+10)\sqrt{121-x^2}=0[/tex]


Отговори:
1. [tex]-4; 1[/tex]
2. [tex]2[/tex]
3. [tex]-1, 2[/tex]
4. [tex]0; 5[/tex]
5. [tex]1[/tex]

[mail_dinko]

Задача 1:
[tex]x^2+3x+8-4\sqrt{x^2+3x+5} = 0[/tex]
Определяме ДМ
[tex]x^2+3x+5 \ge 0[/tex]
[tex]D=9-20<0[/tex]
Положително за всяко х
[tex]x^2+3x+8-4\sqrt{x^2+3x+5} = 0[/tex]
Полагаме [tex]t=x^2+3x+5[/tex]
[tex]t+3-4 \sqrt {t} = 0[/tex]
[tex]t+3=4 \sqrt {t}[/tex]
[tex]t^2+6t+9-16t=0[/tex]
[tex]t^2-10t+9=0[/tex]
[tex]D=25-9=16=4^2[/tex]
[tex]t_{1,2}= 5 \pm 4[/tex]
[tex]t_1 = 9 \Leftrightarrow x^2+3x+5 =9[/tex]
[tex]x^2+3x-4=0[/tex]
[tex]D=9+16=25=5^2[/tex]
[tex]x_{1,2}= \frac {-3 \pm 5 }{2} \Leftrightarrow x_1 =-4 ; x_2 =1[/tex]
Правим проверка: [tex]16-12+8-4 \sqrt{16-12+5}=0 \Rightarrow 12-4 \sqrt{9}=0 \Rightarrow 12= 4.3 \Rightarrow \fbox {x_1 = -4 }[/tex] е корен
Правим проверка: [tex]1+3+8-4 \sqrt {1+3+5}=0 \Rightarrow 12-4 \sqrt {9}=0 \Rightarrow 12 = 4.3 \Rightarrow \fbox {x_2 =1}[/tex] е корен
[tex]t_2 = 1 \Leftrightarrow x^2+3x+5 =1[/tex]
[tex]x^2+3x+4=0[/tex]
[tex]D=9-16<0[/tex]
Няма реални корени

Задача 2:
[tex]\frac{\sqrt{4x+1}}{3}+\frac{3}{\sqrt{4x+1}} = 2[/tex]
Подкоренната величина трябва да бъде неотрицателна, а в случая - положителна, поради наличието и в знаменателя на второто събираемо
[tex]DM: 4x+1 > 0 \Rightarrow 4x > - 1|:4 \Rightarrow x> - \frac14[/tex]
Полагаме [tex]t=\frac{\sqrt{4x+1}}{3}[/tex]
[tex]t + \frac {1}{t}=2|.t[/tex]
[tex]t^2-2t+1=0 \Leftrightarrow (t-1)^2=0 \Rightarrow t=1 \in DM[/tex]
[tex]\frac{\sqrt{4x+1}}{3} = 1 \Leftrightarrow \sqrt{4x+1} = 3 \Leftrightarrow 4x+1 =9 \Leftrightarrow 4x=8 |:4 \Rightarrow \fbox {x=2}[/tex] е корен
Правим проверка:
[tex]\frac{\sqrt{4.2+1}}{3}+\frac{3}{\sqrt{4.2+1}} = 2 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{9}}{3}+\frac{3}{\sqrt{9}} = 2 \Leftrightarrow 1+1=2[/tex]

Задача 3:
[tex]\sqrt{2x+4}=\frac{4x^2}{\sqrt{8(x+2)}}[/tex]
[tex]\sqrt{2x+4}=\frac{4x^2}{\sqrt{4(2x+4)}}[/tex]
[tex]2. \sqrt{2x+4} .\sqrt{2x+4}=4x^2[/tex]
[tex]2 (2x+4) = 4x^2[/tex]
[tex]4(x+2)=4x^2|:4[/tex]
[tex]x+2=x^2 \Leftrightarrow x^2-x-2 =0[/tex]
[tex]D=1+8=9=3^2[/tex]
[tex]x_{1,2} = \frac {1 \pm 3}{2} \Leftrightarrow x_1 = 2; x_2 = - 1[/tex]
Проверка: [tex]\sqrt{4+4}=\frac{16}{\sqrt{8.4}} \Leftrightarrow 2 \sqrt {2} = \frac {16}{4 \sqrt {2}} \Leftrightarrow 2.4. (\sqrt {2})^2= 16 \Leftrightarrow 2.4.2 = 16 \Rightarrow \fbox {x_1 = 2 }[/tex] е корен.
Проверка: [tex]\sqrt{-2+4}=\frac{4}{\sqrt{8}} \Leftrightarrow \sqrt {2} = \frac {4}{2 \sqrt {2}} \Leftrightarrow 2 (\sqrt {2})^2= 4 \Leftrightarrow 2.2 = 4 \Rightarrow \fbox {x_2 = -1 }[/tex] е корен.

Задача 4:
[tex](x-3)\sqrt{x^2-5x+4}=2x-6[/tex]
[tex](x-3)\sqrt{x^2-5x+4}=2(x-3) |: (x-3)[/tex]
[tex]DM: x-3 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3[/tex]
[tex]\sqrt{x^2-5x+4}= 2 . \frac {\cancel {x-3}}{\cancel {x-3}}[/tex]
[tex]\sqrt{x^2-5x+4}= 2[/tex]
[tex]x^2-5x+4 \ge 0[/tex]
[tex]D= 25 - 4.4 = 9 = 3^2[/tex]
[tex]x_{1,2} = \frac {5 \pm 3}{2} \Rightarrow x_1 = 4; x_2 =1[/tex]
След оформяне на интервалите, отдясно наляво започваме с плюс; редуваме алтернативно +-+, защриховаме тези с плюс, засичаме с [tex]x \ne 3[/tex] и получаваме дефиниционното множество [tex]x \in ( - \infty ; 1 ) \cup (4; \infty)[/tex]
Повдигаме двете страни на втора степен
[tex]x^2 - 5x \cancel {+4 }= \cancel {4} \Leftrightarrow x(x-5)=0 \Rightarrow x_1 =0; x_2 =5[/tex]
Правим проверка: [tex](0-3)\sqrt{0-0+4}=0-6 \Leftrightarrow -3.2 = -6 \Rightarrow \fbox {x_1=0}[/tex] е корен
Правим проверка: [tex](5-3)\sqrt{\cancel {25} \cancel {-25}+4}=10-6 \Leftrightarrow 2.2 = 4 \Rightarrow \fbox {x_2=5}[/tex] е корен

Задача 5: Намерете най-малкия положителен корен на уравнението
[tex](x^2-11x+10)\sqrt{121-x^2}=0[/tex]
Едно произведение има стойност нула, когато поне един от множителите е равен на нула.
[tex](x^2-11x+10)=0 \rightarrow D=121-40-81=9^2 \Rightarrow x_{1,2}= \frac {11 \pm 9}{2} \Rightarrow \fbox {x_1 = 10}; \fbox {x_2 = 1}[/tex]
[tex]\sqrt{121-x^2}=0 \Leftrightarrow 121-x^2=0 \Leftrightarrow (11-x)(11+x)=0 \Rightarrow \fbox {x_{3,4} = \pm 11}[/tex]
Корените са -11; 1; 10; 11. Най-малък положителен е -1

[Nathi123]

1. зад. Уравнението [tex]x^{2} + 3x +8 - 4\sqrt{(x^{2}+3x+5)}=0[/tex] . За [tex]\forall x\in R \Rightarrow x^{2}+3x+5>0 .[/tex] Нека [tex]\sqrt{(x^{2}+3x+5)} =u\Rightarrow u>0 \Rightarrow x^{2}+3x+5 = u^{2}\Rightarrow u^{2}+3 - 4u = 0\Leftrightarrow u = 1\cup u = 3 \Leftrightarrow x^{2}+3x+5 =1 \cup x^{2}+3x+5 =9.[/tex] Първото кв. уравнение няма реални корени , а второто има корени x = -4 [tex]\cup x = 1[/tex]. Те са решения на ирационалното уравнение ,защото са от деф му множество!( Както и намерените стойности на u).Затова не е нужно да се прави проверка.
При зад. 5 ,уравнението е ирационално и ако не е определено деф. множ. е задължително да се направи проверка!

[mail_dinko]

Като ученик ме учиха винаги да правя проверка, дори и при определено ДМ. Освен това се е случвало даден корен да принадлежи на ДМ, но при проверка да установим, че не е корен на уравнението.

[Nathi123]

При вярно определяне на деф. множество не е нужно да се прави проверка.Ако някой ,,корен " се е оказвал ,че не е решение на ирац. уравнение, това означава,че на даден етап от решението не е проследено за деф. множество на ирационалното уравнение !!!

[Aizui]

Благодаря за решенията!
Сега ми стана по-ясно решаването на уравнения от този тип. : )