Уравнение от К. Коларов

[nh3mp3]

Имам питане за задача 200 от раздел 8. Ето я и задачата:
[tex]\frac{1}{x-9}+\frac{1}{x-7}=\frac{1}{x+18}+\frac{1}{x-10}[/tex]
Знам, че има по лесен начин от директно превеждане под общ знаменател.
Благодаря предварително!

[Knowledge Greedy]

Разменяме местата на две от дробите.
[tex]\frac{1}{x-9}-\frac{1}{x+18}=\frac{1}{x-10}-\frac{1}{x-7}[/tex]

Привеждаме към общ знаменател поотделно лявата и дясната страна на уравнението.
[tex]\frac{x+18-(x-9)}{(x-9)(x+18)}=\frac{x-7-(x-10)}{(x-10)(x-7)}[/tex]

В числителите неизвестното [tex]x[/tex] се унищожава и остава
[tex]\frac{27}{(x-9)(x+18)}=\frac{3}{(x-10)(x-7)}[/tex]

Съкращаваме на [tex]3[/tex]
[tex]\frac{9}{(x-9)(x+18)}=\frac{1}{(x-10)(x-7)}[/tex]

и се освобождаваме от знаменателите (умножаваме "на кръст")
[tex]9(x-10)(x-7)=(x-9)(x+18)[/tex]

Полученото квадратно уравнение
[tex]8x^2-162x+792=0[/tex]

съкращаваме на 2
[tex]4x^2-81x+396=0[/tex]

има за дискриминанта [tex]D=225[/tex]

и корени [tex]x_1=12[/tex] и [tex]x_2=\frac{33}{4}[/tex]