Параметрично модулно уравнение

[christotaku]

Намерете стойностите на m, за които уравнението |[tex]x^{2}[/tex] - 3x + 2| = mx има 4 различни корена [tex]\alpha[/tex], [tex]\beta[/tex], [tex]\gamma[/tex], [tex]\delta[/tex]

Единственото, от което ми хрумва да изходя е, че има два случая - израза в модула да бъде равен или на mx или на -mx и това, че щом уравнението има различни решения, значи дискриминантата трябва да е по-голяма от нула, но явно не са ми правилни размишленията, защото не получавам отговора.

Отговорът е: 0 < m < 3 - 2 [tex]\sqrt{2}[/tex]

[Nathi123]

От [tex]| x^{2} - 3x +2 | = mx (1) \Rightarrow mx\ge 0[/tex] Ако mx = 0 [tex]\Rightarrow m = 0 \cup x = 0 \Rightarrow | x^{2} - 3x +2 | = 0 \Leftrightarrow x_{1 } =1 \cup x_{2 } = 2[/tex] и [tex]x\ne 0 , m = 0[/tex] ( х = 0 - не е решение )[tex]\Rightarrow m = 0[/tex] също не е решение на задачата. ( уравнението има само 2 реални корена при m = 0 ).[tex]\Rightarrow mx > 0 \Leftrightarrow m[/tex] и х са с еднакви знаци.Тогава уравнението (1) е еквивалентно на [tex]x^{2} - 3x +2 = mx \cup x^{2} - 3x +2 = - mx \Leftrightarrow x^{2} - x( m + 3 ) + 2 = 0 ( 2) \cup x^{2} - x( 3 - m ) + 2 = 0 (3)[/tex] Уравнението (1) ще има 4 различни реални корени тогава и само тогава,когато уравненията (2) и (3) имат два различни корена и знаците на корените съвпадат със знака на m. Нека означим дискриминантите на (2) и (3) съответно с [tex]D_{1 }=m^{2} + 6m + 1[/tex] и [tex]D_{2 } = m^{2} - 6m + 1 .[/tex]
1. сл. m < 0 [tex]\Rightarrow m + 3 < 0 ( x_{1 } + x_{2 } < 0 ; x_{1 } x_{2 } >0 ); D_{1 }>0 \Rightarrow m \in ( - \infty,-3-2\sqrt{2})\cup (-3+2,+\infty) \cap
x_{1 }'+x_{2 } '<0\Rightarrow 3-m < 0 \Rightarrow m > 3[/tex] противоречие с m < 0 . Т.е. в 1 сл. не се получава реш на задачата.
2. сл при m > 0 [tex]\Rightarrow[/tex] корените на двете кв. уравнения трябва да са различни и положителни [tex]\Rightarrow\begin{array}{|l} m \in (-\infty,-3-2\sqrt{2})\cup(-3+2\sqrt{2},+\infty)\\ m+3 > 0 \\ m>0 \\ 3 - m >0 \\ m\in (-\infty ,3-2\sqrt{2})\cup ( 3 + 2\sqrt{2},+\infty) \end{array} \Leftrightarrow m \in (0,3 - 2\sqrt{2})[/tex] .

[christotaku]

Защо знаците на корените трябва да съвпадат със знака на m?