Уравнение и израз на решението му

[christotaku]

Ако w е решение на уравнението [tex]x^{2} + x + 1 = 0[/tex], то [tex]w^{10} + w^{5} + 1 = ?[/tex]

[Knowledge Greedy]

[tex]x^2=-x-1 \,\ \Rightarrow \,\ w^4=(w+1)^2=w^2+2w+1=-w-1+2w+1=w[/tex]

[tex]\Rightarrow \,\ w^5=w^2=-w-1[/tex]

[tex]w^2w^8 =w^2 \left ( w^4 \right )^2= w^4 =w \,\ \Rightarrow w^{10} =( w^2)^2= w[/tex]

[tex]w^{10} +w^5+1=w-w-1+1=0[/tex]
____________
Друг подход - ако умножим по [tex]x-1[/tex], получаваме [tex]x^3-1=0[/tex]
Следователно [tex]x^3=1[/tex]

[tex]w^3=1 \,\ \Rightarrow w^9=1[/tex] , при това [tex]w\ne 1[/tex] и т.н.