Тест - система, биквадратно уравнение, дроб

[_xInvisiblEx_]

2 рата снимка е по-важна

[Davids]

I Тест:

1. Зад.:
а)
Полагаме $t = x^2 \ge 0$.
Решаваме $t^2 - 5t + 4 = 0$
$D = 5^2 - 4.4 = 3^2$
$t_1 = 1 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 1$
$t_2 = 4 \Rightarrow x_{3,4} = \pm 2$

б)
$\frac{x}{x+3} - \frac{1}{x-3} = -\frac{6}{x^2 - 9}$
$\frac{x}{x+3} - \frac{1}{x-3} + \frac{6}{(x+3)(x-3)} = 0$
Общ множител е $(x+3)(x-3)$. Превеждаме под него с уговорката, че според ДС $x \ne \pm 3$
Получаваме:
$x(x-3) - 1(x+3) + 6 = 0$
$x^2 - 3x - x - 3 + 6 = 0$
$x^2 - 4x + 3 = 0$
$D = 4^2 - 4.3 = 2^2$
$x_1 = 1$ е решение
$x_2 = 3$ не е решение
Така единствено решение е $x = 1$.

в)
$(x^2 - x)^2 - 4(x^2 - x) - 12 = 0$
Полагаме $t = x^2 - x$
Решаваме $t^2 - 4t - 12 = 0$
$D = 4^2 + 4.12 = 8^2$
$t_1 = -2$
$t_2 = 6$
Следователно веднъж имаме:
$t = x^2 - x = -2$
$x^2 - x + 2 = 0$
Което няма реални корени, понеже $D = 1 - 4.2 < 0$
И другият вариант е:
$t = x^2 - x = 6$
$x^2 - x - 6 = 0$
$D = 1 + 4.6 = 5^2$
$x_1 = 3$
$x_2 = -2$
Които са двата корена на уравнението.

2. Зад.:
Разлагаме първо числителя на множители, като за целта трябва първо да го решим.
$x^2 + x - 2 = 0$
$D = 1 + 4.2 = 3^2$
$x_1 = \frac{-1 - 3}{2} = -2$
$x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$
$\Rightarrow x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$

Захващаме знаменателя:
$3x^2 + 7x + 2 = 0$
$D = 7^2 - 4.2.3 = 49 - 24 = 5^2$
$x_1 = \frac{-7-5}{6} = -2$
$x_2 = \frac{-7+5}{6} = -\frac{1}{3}$
$\Rightarrow 3x^2 + 7x + 2 = 3(x + 2)(x + \frac{1}{3}) = (x+2)(3x + 1)$

И така целият израз придобива вида:
$A = \frac{x^2 + x - 2}{3x^2 + 7x + 2} = \frac{(x+2)(x-1)}{(x+2)(3x+1)} = \frac{x-1}{3x+1}$

3.Зад.:
[tex]\begin{array}{|l} x^2 + xy + y^2 = 19 \\ x + y = 5 \end{array}[/tex]
От второто уравнение изразяваме $x = 5 - y$ и заместваме в горното:
$(5-y)^2 + y(5-y) + y^2 = 19$
$25 - 10y + y^2 + 5y - y^2 + y^2 - 19 = 0$
$y^2 - 5y + 6 = 0$
$D = 5^2 - 4.6 = 1$
$y_1 = 2 \Rightarrow x_1 = 3$
$y_2 = 3 \Rightarrow x_2 = 2$
Симетрично е уравнението, така че на практика се получава една двойка решения: $(x,y ) = (2, 3)$

Вторият тест му давай гас сам по същата схема. Ако имаш конкретни трудности/неяности/въпроси, давай смело насам

[_xInvisiblEx_]

Може ли да решиш цялата 1ва от 2-рия тест

[pal702004]

Може ли да решиш цялата 1ва от 2-рия тест

Може.
А каква е разликата между 1-ва задача от първия тест и 1-ва задача от втория тест?