Параметрично уравнение

[Nagato]

Параметрично уравнение.png (34.01 KiB) Прегледано 708 пъти

[123a]

Ще предложа метод, но не съм 100% сигурен дали е верен.

Далим на [tex](x+1)^2\ne0[/tex] и получаваме

[tex](\frac{x^2}{x+1})^2+(3a-2)\frac{x^2}{x+1}+(2a^2-a-3)=0[/tex].

Полагаме [tex]\frac{x^2}{x+1}=t[/tex] От тук

[tex]t^2+(3a-2)t+(2a^2-a-3)= 0[/tex]

Ако [tex]x=0=>t\le0[/tex], ако [tex]x=-3=>t\ge-\frac{9}{2}[/tex]

Следователно задачата се свежда до това да се намерят стойностите на параметъра а, за които всички решения на уравнението [tex]f(t)=0[/tex] са в интервала [tex][-\frac{9}{2};0][/tex]

[Добромир Глухаров]

Както е предложил 123a, полагаме $\frac{x^2}{x+1}=t$. Ето и графика на $t$ като функция на $x$:

Параметрично уравнение - полагане.png (11.87 KiB) Прегледано 675 пъти

Търсим на какви условия трябва да отговаря $t$ така, че да следва $x\in[-3;0]$

От графиката се вижда, че трябва $t\in[-\frac{9}{2};-4]\cup\{0\}$

$f(t)=t^2+(3a-2)t+2a^2-a-3=0$

$f(0)=0\Rightarrow2a^2-a-3=0\Rightarrow a=1,5;-1$

$\begin{array}{|l}D\geq0\\f\left(-\frac{9}{2}\right)\geq0\\f(-4)\geq0\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}a^2-8a+16\geq0\\8a^2-58a+105\geq0\\2a^2-13a+21\geq0\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}(a-4)^2\geq0\\(4a-15)(2a-7)\geq0\\(2a-7)(a-3)\geq0\end{array}$

$a\in(-\infty;3]\cup\{\frac{7}{2}\}\cup[\frac{15}{4};+\infty)$

[Knowledge Greedy]

Уравнението е със симетрични степени на изразите [tex]x^2[/tex] от една страна и [tex](x+1)[/tex] - от друга.
Делим на [tex](x+1)^2[/tex]
След полагане [tex]\frac{x^2}{x+1}[/tex]
получаваме
[tex]t^2+(3a-2)t+2a^2-a-3=0[/tex]
[tex]D=(a-4)^2[/tex]
[tex]t_1=-a-1[/tex]
[tex]t_2=3-2a[/tex]

Даденото уравнение се разпада на две квадратни уравнения
[tex]f(x)=x^2+(a+1)x+a+1=0[/tex], с дискриминанта [tex]D_1=(a+1)(a-3)[/tex]
и
[tex]g(x)=x^2+(2a-3)x+2a-3=0[/tex], с дискриминанта [tex]D_2=(2a-7)(2a-3)[/tex]
Възможни са три случая.
[tex]I.[/tex] случай
И двете уравнения имат реални корени, и тези корени са в интервала [tex][-3; \,\ 0][/tex]
Следователно търсим корени (за параметъра [tex]a[/tex]) в множеството [tex](-\infty ; -1]\cup \left [ \frac{7}{2}; \,\ +\infty \right ) \,\ (\ast)[/tex]
- това е сечението на решенията на [tex]\begin{array}{|l} D_1\ge 0 \\ D_2\ge 0 \end{array}[/tex]
Остава да проверим още и условията
[tex]\begin{array}{|l} f(-3) >0 \Leftrightarrow \,\ a<\frac{7}{2} \\ f(0)>0 \\ - \frac{a+1}{2}\ge -3 \\ - \frac{a+1}{2} \le 0 \\ g(-3) >0 \\ g(0)>0 \\ - \frac{2a-3}{2}\ge -3 \\ - \frac{2a-3}{2} \le 0 \end{array}[/tex]
Последните 8 условия са равносилни на [tex]\frac{3}{2}\le a < \frac{7}{2}[/tex]
- оказва се, че поради [tex](\ast)[/tex] в първия случай няма търсени стойности на параметъра [tex]a[/tex].

[tex]II.[/tex] случай
Първото уравнениe има (реални) корени, и тези корени са в интервала [tex][-3; \,\ 0][/tex], а второто няма реални корени.
Решаваме системата
[tex]\begin{array}{|l} \\ D_1=(a+1)(a-3)\ge 0 \\ f(-3) >0 \\ f(0)>0 \\ - \frac{a+1}{2}\ge -3 \\ - \frac{a+1}{2} \le 0 \\ D_2=(2a-7)(2a-3)<0 \end{array}[/tex]
Резултатът е [tex]3 \le a < \frac{7}{2}[/tex]

[tex]III.[/tex] случай
Първото уравнениe няма реални корени, а второто има - и тези корени са в интервала [tex][-3; \,\ 0][/tex].
Решаваме системата [tex]\begin{array}{|l} D_1 < 0 \\ D_2 \ge 0 \\ g(-3) >0 \\ g(0)>0 \\ - \frac{2a-3}{2}\ge -3 \\ - \frac{2a-3}{2} \le 0 \end{array}[/tex]
Решението ѝ е отново празното множество.
Следователно отговорът на задачата идва само от втория случай.
[tex]a \in \left [ 3; \,\ \frac{7}{2} \right )[/tex]
_________
Интересно е, как в течение на всички разглеждания, при стойност [tex]a=\frac{7}{2}[/tex] уравнението все пак се "изхитря" да има два положителни корена (в добавка на двата, които вършат работа - от интервала [tex][-3;0][/tex]).
_________
По-елегантното аналитично решение на Добромир е завършено с пропуск - за разположението на върха на новата парабола.