Параметрични задачи с формули на Виет

[milen]

13. За кои стойности на параметъра а за корените [tex]x_{1 }[/tex]и[tex]x_{2 }[/tex] на уравнението[tex]x^{2} + ах +5=0[/tex] е изпълнено x[tex]_{1 } - 2x_{2 } =3[/tex]
отг. а =-6 и а=4,5
14. а кои стойности на параметъра р за корените[tex]x_{1 }[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex] на уравнението [tex]x^{2} + рх +2р+1 =0[/tex] е изпълнено [tex]x_{1 }= (р-1)x_{2 }[/tex]
отг. р=-2
15. дадено е уравнението [tex]2x^{2} + 71х +25=0[/tex]. съставете квадратно уравнение,чиито корени са два пъти по-големи от корените на даденото уравнение.
отг. [tex]x^{2} + 71х + 50=0[/tex]

[Nathi123]

13. зад. От дадената връзка м/у корените на уравнението и ф-ли на Виет се получава системата :
[tex]\begin{array}{|l} x_{1 } -2x_{2 }= 3 \\ x_{1 } + x_{2 } = -a \\ x_{1 } x_{2 } = 5 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x_{1 } = 3 +2x_{2 } \\ 3x_{2 } = -a - 3 \\ x_{1 } x_{2 } = 5 \end{array}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\begin{array}{|l} x_{1 } = \frac{3-2a}{3} \\ x_{2 }=- \frac{a+3}{3}\\ -\frac{3 - 2a}{3} \frac{a+3}{3} = 5\end{array}\Rightarrow 2a^{2} + 3a - 54 =0 \Rightarrow a_{1 } = \frac{9}{2} \cup a = - 6[/tex].

[milen]

благодаря! а някой има ли идея как се решават 14 и 15?

[KOPMOPAH]

За 14 прилагаш същия подход.
За 15 разсъждаваш така:
Даденото уравнение има корени $x_1$, $x_2$, за които е в сила $x_1+x_2=-\frac ba=\cdots$, $x_1x_2=\frac ca =\cdots$.
Търсеното уравнение трябва да има корени съответно $2x_1$ и $2x_2$, значи формулите на Виет за него са $2x_1+2x_2=2(x_1+x_2)=-2\frac ba=\cdots$, $2x_1.2x_2=4x_1x_2=\cdots$