Уравнение с функция

[KOPMOPAH]

Да се реши уравнението $f(f(f(f(f(x)))))=0$, ако $ f(x)=x^2+10x+20$.

[aifC]

[tex]x1,x2 = (\sqrt{5}-5) , (-\sqrt{5}-5); \Rightarrow f(f(f(f( (\sqrt{5}-5) , (-\sqrt{5}-5))))) \Rightarrow (\sqrt{5}-5)^{2} , (-\sqrt{5}-5)^{2}) + 10((\sqrt{5}-5),(-\sqrt{5}-5)) + 20 = 0,0[/tex]
[tex]f(f(f(0))) \Rightarrow 0^{2} +10 \cdot 0 + 20 = 20 \Rightarrow f(f(20)) \Rightarrow 400+200+20 = 620; f(620) \Rightarrow 384400+6200+20 = 390620;[/tex]
Крайния резултат малко ме плаши и ме кара да се съмнявам.

[KOPMOPAH]

Ще оставя и другите да помислят, после ще пусна решението. Има по-елегантен начин

[KOPMOPAH]

Жокер:

$f(x)=x^2+10x+20=(x+5)^2-5$

[Добромир Глухаров]

$x=\sqrt[32]{5}-5$

Другите корени са комплексни числа.

[Davids]

Можем да разгледаме даденото като редица, на която търсим решение за петия член, приравнен на нула. Имаме:
$a_1 = x^2 + 10x + 20 = (x+5)^2 - 5$
$a_n = (a_{n-1} + 5)^2 - 5 = (a_{n-2} + 5)^{2^2} - 5 = ... = (a_{n-k} + 5)^{2^k} - 5$
Тогава за $n = 5$, $k = 4$ имаме:
$a_5 = (a_1 + 5)^{2^4} - 5 = (x + 5)^{2^5} - 5 = 0$
$\Rightarrow |x+5| = \sqrt[32]{5}$
$x = \pm \sqrt[32]{5} - 5$