Задача

[Петър Евгениев]

Отговорът не ми съвпада отново.
[tex](x+4)3^{1-|x-1|}-x=(x+1)|3^{x}-1|+3^{x+1}+1[/tex]
Сега разделям на три интервала [tex]I.)x\in (-\infty;0)[/tex]
[tex]II.)x\in (0;1)[/tex]
[tex]III.)x\in (1;+\infty)[/tex]
(Левия минус е за разкриване левия модул а десния за десния)
[tex]I.)-, -[/tex]
[tex]II.)-,-[/tex]
[tex]III.)+,+[/tex]
[tex]I.)\cup II.) \Rightarrow x\in (-\infty;0)\cup(0;1)[/tex](защото нали и двата интервла са с минус) [tex]\Rightarrow (x+4)3^{1+x-1}-x=(x+1)(1-3^{x})+3^{x+1}+1[/tex]
[tex](x+4)3^{x}-x=(x+1)(1-3^{x})+3^{x+1}+1[/tex]
[tex]x3^{x}+x3^{x}-2x+4.3^{x}+3^{x}-3^{x}.3-2=0[/tex]
[tex]3^{x}(2x+2)-(2x+2)=0 \Rightarrow (2x+2)(3^{x}-1)=0[/tex]
[tex]x=-1\in (-\infty;0)\cup(0;1)[/tex]или [tex]x=0[/tex], след проверка виждам ,че и нулата е корен.
[tex]III.)+,+[/tex]
[tex](x+4)3^{1-x+1}-x=(x+1)(3^{x}-1)+3^{x+1}+1[/tex]
[tex](x+4)3^{2-x}-x=(x+1)(3^{x}-1)+3^{x+1}+1[/tex]
[tex]x3^{2-x}+4.3^{2-x}\cancel{-x}=x3^{x}\cancel{-x}+3^{x}\cancel{-1}+3^{x+1}\cancel{+1}[/tex]
[tex]x3^{2-x}+4.3^{2-x}-x3^{x}-3^{x}-3^{x+1}=[/tex]
[tex]3^{2-x}(x+4)-3^{x}(x+4)=0[/tex]
[tex](x+4)(3^{2-x}-3^{x})=0[/tex]
[tex]x=-4\notin (1;+\infty)[/tex]
[tex]3^{2-x}-3^{x}=0 \Rightarrow 3^{2-x}=3^{x} \Leftrightarrow 2-x=x \Rightarrow x=1[/tex], след проверка виждам ,че и 1 е корен.
И остава за корени да са [tex]x=-1, x=0, x=1[/tex]
А отговора е [tex]x=-1, x\in[0;1][/tex], демек близо съм ама те казват, че целия интервал e.

[S.B.]

Пепи,мъча я,но нещо не върви както трябва!

[Knowledge Greedy]

Грешката явно е във II-ри случай (не разбирам, защо ги обединяваш с I-ви(!?) - единият минус е за ([tex]x-1[/tex]), а другият -
за [tex]3^x-1[/tex] и ... вече не е минус ).

[tex](x+4)3^{1−|x−1|}−x=(x+1){|3^x−1|}+3^{x+1}+1[/tex]

Щом [tex]x<1 \,\ \Rightarrow \,\ x-1<0 \,\ \Rightarrow \,\ 3^{1−|x−1|}=3^x[/tex],

но [tex]x>0 \,\ \Rightarrow \,\ 3^x>3^0 \,\ \Rightarrow \,\ {|3^x−1|}=3^x-1[/tex]

Уравнението добива вида
[tex](x+4)3^{x}−x=(x+1){(3^x−1)}+3^{x+1}+1[/tex]

[tex](x+4)3^{x}−x=(x+1)3^x−(x+1)+3.3^{x}+1[/tex]

[tex]\Rightarrow 0x=0[/tex] [tex]\Rightarrow \forall x: 0<x<1[/tex]

[Петър Евгениев]

Вярно. От I [tex]x=-1, x=0[/tex], от II [tex]\forall x\in(0;1)[/tex], но понеже [tex]x=0[/tex], [tex]\forall x\in[0;1)[/tex], и от III [tex]x=1 \Rightarrow \forall x\in [0;1][/tex], и оконачателно.
[tex]x=-1 , x\in [0;1][/tex]
Благодаря ви!