Уравнение

[Петър Евгениев]

[tex]x+lg(5^{x}-1)=xlg2+lg20[/tex]

[Петър Евгениев]

Фалшива тревога това било лесно реших го...

[Davids]

[tex]x+lg(5^{x}-1)=xlg2+lg20[/tex]

Определяме ДС: $5^x > 1 \Rightarrow x > 0$
$x - xlg2 = lg20 - lg(5^x - 1)$
$x(1 - lg2) = lg(\frac{20}{5^x - 1})$
И понеже $1 - lg2 = lg10 - lg2 = lg\frac{10}{2} = lg5$, то:
$xlg5 = lg(\frac{20}{5^x - 1})$
$x = \frac{lg(\frac{20}{5^x - 1})}{lg5} = log_5(\frac{20}{5^x - 1})$
Антилогаритмуваме двете страни при основа 5:
$5^x = \frac{20}{5^x - 1}$
Полагаме $t = 5^x > 0$ и освожождаваме от знаменател, достигайки до квадратното уравнение:
$t^2 - t - 20 = 0$
Единствен положителен корен е $t = 5$, следователно $x = 1 \in ДС$.