Цели корени

[Hephaestus]

Да се намери броят на целите корени на уравнението:

------------------------------------------------------------[tex]\sqrt[3]{x-9} + \sqrt[4]{x+8} = 7[/tex].

[123a]

[tex]\sqrt[3]{x-9}=y=>x=y^3+9=>x+8=y^3+17[/tex]


$ \sqrt[4]{y^3+17}=7-y$.
За да има уравнението от условието корени цели числа, то и уравнението след полагането трябва да има цели корени.

При $y\le7$ повдигаме на четвърта

$y^3+17= y^4-28y^3+294y^2-1372y+2401$


$y^4-29y^3+294y^2-1372y+2384=0$

С Хорнер се установява,че $y=4$ е корен.

$(y-4)(y^3+25y^2+194y-596)=0$

$y^3+25y^2+194y-596=0$ няма решения в цели числа затова спираме до тук и се връщаме горе.

$x=64+9=73$

Отговор: 1

[pal702004]

Е колко корена да има монотонно растяща функция...

[inveidar]

Скрит текст: покажи

Е колко корена да има монотонно растяща функция...

Е нула, или един.

[Genie_Almo]

Превеждам в цялост това, което pal702004 изказа в съкратен вариант:

" Е колко (още) корена да има монотонно растяща функция... (при положение, че вече сме намерили един). "

В смисъл, че с горния риторичен въпрос можем в духовит тон да приключим задачата, след като вече сме намерили един цял корен с Хорнер.

[pal702004]

Хорнер...Цял корен и с теслата ще го намерим, стига да го има. Иначе давам каруца и два коня на този, който докаже долното твърдение:

[tex]\sqrt[3]{x-9}=y=>x=y^3+9=>x+8=y^3+17[/tex]

$ \sqrt[4]{y^3+17}=7-y$.
За да има уравнението от условието корени цели числа, то и уравнението след полагането трябва да има цели корени.

По-точно, да се докаже, че ако $\sqrt[3] a+\sqrt[4] b \in \mathbb{Z}$ за някой цели $a,b$, то $a$ е точен куб, a $b$ - четвърта степен на цяло число.

[Genie_Almo]

Хорнер...Цял корен и с теслата ще го намерим, стига да го има. Иначе давам каруца и два коня на този, който докаже долното твърдение:

[tex]\sqrt[3]{x-9}=y=>x=y^3+9=>x+8=y^3+17[/tex]

$ \sqrt[4]{y^3+17}=7-y$.
За да има уравнението от условието корени цели числа, то и уравнението след полагането трябва да има цели корени.

По-точно, да се докаже, че ако $\sqrt[3] a+\sqrt[4] b \in \mathbb{Z}$ за някой цели $a,b$, то $a$ е точен куб, a $b$ - четвърта степен на цяло число.

Ок, нека бъде така:

"Ако уравнението след полагането има цели корени, то и първоначалното уравнение от условието ще има цели корени."

... и после Хорнер (или кой, какъвто стил на копаене предпочита), после риторичния въпрос...

Иначе това, което формулираш като задача, чието условие е захранено от неточност в изказа е супер..., но е нещо отделно. В горната задача има тясна зависимост между числата $a$ и $b$.

[inveidar]

И аз да поставя задача. Може ли квадратно уравнение [tex]ax^{2}+bx+c=0[/tex], където [tex]a, b, c[/tex] са цели числа, да има корен [tex]\sqrt[3]{n}[/tex], където [tex]n[/tex] е цяло число?

[inveidar]

Иначе давам каруца и два коня на този, който докаже долното твърдение:
...
По-точно, да се докаже, че ако $\sqrt[3] a+\sqrt[4] b \in \mathbb{Z}$ за някой цели $a,b$, то $a$ е точен куб, a $b$ - четвърта степен на цяло число.

Наистина ли ще дадеш каруца и два коня?

[matst]

Да допуснем, че има полином на [tex]x[/tex] от втора степен с рационални коефициенти [tex]P(x)=a x^2+b x+c[/tex]
такъв, че [tex]a\neq 0[/tex], [tex]P(\sqrt[3]{2})=0[/tex].

Дели се [tex]x^3-2[/tex] на [tex]P(x)[/tex] с частно [tex]Q(x)[/tex] и остатък [tex]R(x)[/tex]
[tex]x^3-2=P(x)Q(x)+R(x)[/tex],
където [tex]Q(x)=\frac{1}{a} x -\frac{b}{a^2}[/tex]
и [tex]R(x)=\frac{b^2-ac}{a^2} x+\frac{bc-2a^2}{a^2}[/tex]

При [tex]x=\sqrt[3]{2}[/tex] се получава [tex]R(\sqrt[3]{2})=0[/tex]
и от факта, че [tex]\sqrt[3]{2}[/tex] не е рационално число следва, че
коефициентите на [tex]R[/tex] са [tex]0[/tex] т.е.
[tex]b^2-ac=0[/tex]
[tex]bc-2a^2=0[/tex]
Тази система се решава като се изрази [tex]c[/tex] от първото уравнение и се замести във второто.
Получава се
[tex]b^3=2a^3[/tex]
т.е. [tex]\sqrt[3]{2}[/tex] е рационално --- противоречие.
Противоречието са дължи на допускането, че
има полином от втора степен с рационални коефициенти [tex]P(x)[/tex]
такъв, че [tex]P(\sqrt[3]{2})=0[/tex].

Следователно, не е възможно уравнение от втора степен с цели коефициенти да има
корен [tex]\sqrt[3]{2}[/tex].

Аналогично и за [tex]\sqrt[3]{n}[/tex] при условие, че [tex]n[/tex] не е точен куб на цяло число.

[inveidar]

И тук pal702004 дава два коня с каруца!

[inveidar]

И аз да поставя задача. Може ли квадратно уравнение [tex]ax^{2}+bx+c=0[/tex], където [tex]a, b, c[/tex] са цели числа, да има корен [tex]\sqrt[3]{n}[/tex], където [tex]n[/tex] е цяло число?

Естествено, [tex]n[/tex] да не е точен куб!