Диференциални уравнения

[Dark_Knight]

a) Y''+3y'-4y=6e^2x
б) (1+x^2)y'-2xy=(1+x^2)^2
в) y"-3y'+2y=3e^2x
г) y''+4y=t ; y(0)=y'(0)=0

[aifC]

а)Първото уравнение е нехомогенно диференциално уравнение от втори ред с константни коефициенти, можем да запишем решението във формата [tex]y = y_{h}+y_{p}[/tex], където [tex]y_{h}[/tex] e решение на хомогенното у-нение, а [tex]y_{p}[/tex] е частично решение, случайно ако има някоя функция която удоволетворява нехомогенното у-нение:

[tex]y''+3y'-4y=6e^{2x} \Rightarrow \frac{d^{2}}{dx^{2}}(y)+3\frac{d}{dx}(y)-4y = 0[/tex], използваме формата: [tex]y=e^{\gamma \cdot t}[/tex]

[tex]\frac{d^{2}}{dx^{2}}((e^{^{ɣx}}))+3\frac{d}{dx}((e^{ɣx}))-4y^{ɣx} = 0[/tex]

[tex]\implies \frac{d^{2}}{dx^{2}}((e^{ɣx})) = ɣ^{2}e^{ɣx}[/tex]; [tex]\frac{d}{dx}((e^{ɣx})) = e^{ɣx}ɣ[/tex]

[tex]ɣ^{2}e^{ɣx}+3e^{ɣx}ɣ-4e^{ɣx}=0 \rightarrow e^{ɣx}(ɣ^{2}+3ɣ-4)=0 \rightarrow ɣ = 1, (-4) \rightarrow y = c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-4x}[/tex]

За нехомогенната част ще използваме формата: [tex]y = a_{0}e^{2x}[/tex]

[tex]\frac{d^{2}}{dx^{2}}((a_{0}e^{2x}))+3\frac{d}{dx}((a_{0}e^{2x}))-4a_{0}e^{2x} = 6e^{2x}[/tex]

[tex]\frac{d^{2}}{dx^{2}}((a_{0}e^{2x})) = 4a_{0}e^{2x}[/tex]; [tex]\frac{d}{dx}((a_{0}e^{2x})) = a_{0}e^{2x} \cdot 2[/tex]

[tex]4a_0e^{2x}+3a_0e^{2x}\cdot \:2-4a_0e^{2x}=6e^{2x} \rightarrow 6a_0e^{2x}=6e^{2x}[/tex]

При [tex]a_{0} = 1 \Rightarrow y=e^{2x}[/tex] ;

Генерално решение: [tex]y_{p}+y_{h} \Rightarrow y = c_1e^x+c_2e^{-4x}+e^{2x}[/tex]

[aifC]

б) Имаме линейно диференциално у-нение от първи ред поради този факт го привеждаме във формата: [tex]\:y'\left(x\right)+p\left(x\right)\cdot y=q\left(x\right)[/tex]

[tex]p\left(x\right)=-\frac{2x}{x^2+1} ; q\left(x\right)=\frac{x^4}{x^2+1}+\frac{2x^2}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}; \Rightarrow \frac{d}{dx}\left(y\right)-\frac{2x}{x^2+1}y=\frac{x^4}{x^2+1}+\frac{2x^2}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}[/tex]

Намираме интегралния фактор [tex]\mu(x) \rightarrow\mu \left(x\right)\cdot p\left(x\right)=\mu '\left(x\right)[/tex]:

[tex]p\left(x\right)=-\frac{2x}{x^2+1} \Rightarrow \frac{d}{dx}\left(μ\left(x\right)\right)=μ\left(x\right)\left(-\frac{2x}{x^2+1}\right)[/tex]

[tex]\frac{d}{dx}\left(\ln \left(μ\left(x\right)\right)\right)=-\frac{2x}{x^2+1} \Rightarrow \ln \left(μ\left(x\right)\right)=\int \:-\frac{2x}{x^2+1}dx[/tex]

[tex]\ln \left(μ\left(x\right)\right)=-\ln \left(x^2+1\right)+c_1 \Rightarrow μ\left(x\right)=\frac{1}{x^2+1}[/tex]

Идва ред да използваме за уравнението формата : [tex]\left(\mu \left(x\right)\cdot y\right)'=\mu \left(x\right)\cdot q\left(x\right)[/tex]

[tex]\frac{1}{x^2+1}y=\int \frac{2x^2}{\left(x^2+1\right)^2}+\frac{1}{\left(x^2+1\right)^2}+\frac{x^4}{\left(x^2+1\right)^2}dx \Rightarrow \frac{1}{x^2+1}y=x+c_1[/tex]

[tex]\implies y=x\left(x^2+1\right)+c_1\left(x^2+1\right)[/tex]