Формули на Виет

[moni2003petrova]

Съставете квадратно уравнение, чиито корени са:
а) с 2 по-големи от корените на уравнението 5x^2-47х-19,5=0;
б) са реципрочни на корените на уравнението -х^2+3х+6=0

[Davids]

a) Инициалното ти уравнение е $5x^2 - 47x - \frac{39}{2} = 0$. По формулите на Виет за неговите корени са в сила зависимостите:
[tex]\begin{array}{|l} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{47}{5} = 9,4 \\ x_1x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{39}{10} = -3,9 \end{array}[/tex]

Искаме да получим уравнение от вида $x^2 + px + q = 0$, чиито корени $x_3$ и $x_4$ да са всеки с 2 по-големи респективно от корените на другото уравнение $x_1$ и $x_2$. Това ще означава, че по формулите на Виет имаме следните зависимости:
$\begin{array}{|l} x_3 + x_4 = -p \Rightarrow p = -(x_3 + x_4) = -(x_1 + 2 + x_2 + 2) = -(x_1 + x_2 + 4) = -(9,4 + 4) = -13,4 \\ x_3x_4 = q \Rightarrow q = (x_1 + 2)(x_2 + 2) = x_1x_2 + 2(x_1 + x_2) + 4 = -3,9 + 2.9,4 + 4 = 18,9 \end{array}$

И така окончателно новото уравнение е $x^2 - 13,4x + 18,9 = 0$

b) Имаш уравнението $-x^2 + 3x + 6 = 0$, което е еквивалентно на $x^2 - 3x - 6 = 0$. По познатата схема, по Виет имаме:
$\begin{array}{|l} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1x_2 = -6 \end{array}$

Правим същото като горе, само че този път ще имаме
$\begin{array}{|l} p = -(x_3 + x_4) = -(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}) = -\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = -\frac{3}{-6} = \frac{1}{2} \\ q = x_3x_4 = \frac{1}{x_1x_2} = -\frac{1}{6} \end{array}$

Следователно новото уравнение е $x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{6}x = 0 \Leftrightarrow 6x^2 + 3x - 1 = 0$