Единствено решение на уравнение с параметър

[Kre4etalo]

Да се докаже, че за всяко $c\in (0,1)$ уравнението $$\left(1-\left(c-cx\right)^{2/3}\right)^3=(1-c^2)x^2$$ има единствен реален корен в $(0,1)$ и да се намери този корен.

[ptj]

При фиксирано [tex]c[/tex] от дадения интервал лявата страна е строго намаляваща непрекъсната функция, докато дясната строго растяща непрекъсната. Сравни крайните точки и решението ти е готово.

[Kre4etalo]

Страхотно. А кое е решението?

[Добромир Глухаров]

И лявата, и дясната страна са строго растящи функции в дадения интервал за х, при с от дадения интервал.
Уравнението обаче все пак има единствено решение за всяко с от интервала (0;1) - $x_c=1-c^2$ - не мога да го докажа, но го получих с голяма степен на достоверност чрез EXCEL.
Разбира се, веднага може да се види, че $x_c=1-c^2$ е решение, като просто се замести:
$(1-(c-c(1-c^2))^{\frac{2}{3}})^3=(1-(c^3)^{\frac{2}{3}})^3=(1-c^2)^3=(1-c^2)(1-c^2)^2$
Но дали е единствено в интервала $x\in(0;1)$?

[Kre4etalo]

Правилно, недогледах.

[pal702004]

Не знам кое е недогледано, според мен всичко е точно. Ако положим

$c^{\frac 2 3}=b\in(0,1)$

$(1-x)^{\frac 1 3}=y\in(0,1)$

Се получава

$(1-by^2)^3=(1-b^3)(1-y^3)^2$

след разкриване на скобките и факторизация с помощта на желязото (че b е корен се вижда с просто око, но не и че е двоен)

$(b-y)^2(2by^3-b+y^4-2y)=0$

с единствено решение $y=b$, понеже при указаните условия втория множител е отрицателен:

[tex]\\by^3-b<0\\
by^3-y<0\\
y^4-y<0[/tex]

[Kre4etalo]

Имах предвид, че не бях видял некоректността при аргумента на първия колега.
До това уравнение достигнах, докато се опитвах да характеризирам, коя е кривата, която е контур на множеството от отсечките с дължина 1 чиито краища лежат върху положителните лъчи на координатните оси. Решавайки това уравнение се достига до отговора - астроида. Хитро извеждане може да се намери в Уикипедия.