Ирационално уравнение

[Евва]

[tex]\frac{(4-х)\sqrt[3]{x+3}-(х+3)\sqrt[3]{4-x}}{\sqrt[3]{x+3}-\sqrt[3]{4-x}}[/tex]=2

[ptj]

[tex]D.O.: \sqrt[3]{x+3}-\sqrt[3]{4-x}\ne 0 \Leftrightarrow x+3\ne 4-x\Leftrightarrow x\ne\frac{1}{2}[/tex]

[tex](4-х)\sqrt[3]{x+3}-(х+3)\sqrt[3]{4-x}=2(\sqrt[3]{x+3}-\sqrt[3]{4-x})[/tex]

[tex](2-х)\sqrt[3]{x+3}-(х+1)\sqrt[3]{4-x}=0[/tex]

[tex](2-x)^3(x+3)-(x+1)^3(4-x)=0[/tex] -тук използваме [tex]u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)[/tex]

[tex]2x^3-3x^2-39x+20=0[/tex]

[tex](2x-1)(x+4)(x-5)=0[/tex]

Решения са [tex]x=-4[/tex] и [tex]x=5[/tex].

[Gruicho]

Къде тук използваме [tex]u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)[/tex]?
Как от
[tex]2x^3-3x^2-39x+20=0[/tex]
Стана
[tex](2x-1)(x+4)(x-5)=0[/tex]?

[Евва]

Искаше ми се ученик да се справи с нея.
Задачата бе дадена да се реши чрез полагане.

[Евва]

2[tex]x^{3}[/tex]-3[tex]x^{2}[/tex]-39х+20=0

(2[tex]x^{3}[/tex]-10[tex]x^{2}[/tex])+(8[tex]x^{2}[/tex]-40х)-([tex]x^{2}[/tex]-5х)-(4х-20)=0

2[tex]x^{2}[/tex](х-5)+8х(х-5)-х(х-5)-4(х-5)=0

(х-5)(2[tex]x^{2}[/tex]+8х-х-4)=0

(х-5)[ 2х(х+4)-(х+4) ]=0

(х-5)(х+4)(2х-1)=0

[Евва]

полагаме [tex]\sqrt[3]{x+3}[/tex]=a ; [tex]\sqrt[3]{4-x}[/tex]=b [ Д.М. a-b[tex]\ne[/tex]0 т.е. a[tex]\ne[/tex]b (1) ]

[tex]\frac{b^{3}a-a^{3}b}{a-b}[/tex]=2 (2) ; Забелязваме,че [tex]a^{3}[/tex]+[tex]b^{3}[/tex]=7 (3) ( Решаваме с-та от ур-та (2) и (3) )

[tex]\begin{array}{|l} ab(b^{2}-a^{2})=2(a-b) \\ (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=7 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} (b-a)[ab(b+a)+2]=0 /:(b-a)\ne 0\\ (a+b)[(a+b)^{2}-3ab]=7 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} ab(b+a)+2=0 \\ (a+b)[(a+b)^{2}-3ab]=7 \end{array}[/tex] отново полагаме a+b=m ;ab=n

[tex]\begin{array}{|l} nm+2=0 \Rightarrow n=-\frac{2}{m} \\ m(m^{2}-3n)=7 \end{array}[/tex]

[tex]m^{3}[/tex]-3m(-[tex]\frac{2}{m}[/tex])=7 [tex]\Leftrightarrow[/tex] m=1,тогава n=-2 (към второто полагане)

[tex]\begin{array}{|l} a+b=1 \\ ab=-2 \end{array}[/tex] ...[tex]a_{1 }[/tex]=-1 ;[tex]a_{2 }[/tex]=2 ; [tex]b_{1 }[/tex]=2 ; [tex]b_{2 }[/tex]=-1 (към първото полагане)

[tex]\sqrt[3]{x+3}[/tex]=-1 или [tex]\sqrt[3]{x+3}[/tex]=2

[tex]x_{1 }[/tex]+3=-1 или [tex]x_{2 }[/tex]+3=8

[tex]x_{1 }[/tex]=-4 или [tex]x_{2 }[/tex]=5