Смешна задача с параметър

[WEBER]

Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]p[/tex] , за всяка от които уравнението [tex]2x^3+3x^2-12x+p=0[/tex] има точно 2 решения.

Аз намирам първа производна [tex]f'(x)=6x^2+6x-12[/tex]
[tex]f'(x)=0[/tex]

[tex]x_1 = -2, x_2=1[/tex]
[tex]f''(-2) max, f''(1) min[/tex] (няма голямо значение)

[tex]f(-2)=20+p[/tex]
[tex]f(1)=p-7[/tex]

И сега по някаква безумна логика решавам, че [tex]p\in (-20;7)[/tex]

Някой може ли да каже как ВСЪЩНОСТ се получава, че малко съм отвикнал да решавам

[mkmarinov]

За да има двоен корен уравнението от трета степен, трябва един от неговите корени да съвпада с корен на производната, т.е. при твоя случай - или х=-2 да е корен, или х=1 да е корен. Което означава, че само р=-20 и р=7 са решения.

[WEBER]

Благодаря, ще го запомня.

[ganka simeonova]

Аз лично бих прехвърлила р от дясно и бих разсъждавала, кога двете функции имат две пресечни точки. С графика си е мега лесно:)

[WEBER]

Аз лично бих прехвърлила р от дясно и бих разсъждавала, кога двете функции имат две пресечни точки. С графика си е мега лесно:)

Можеш ли да покажеш едно ориентировачно решение, защото и аз си го мислех това?

[martin123456]

[tex]f(x)=2x^3+3x^2-12x+p[/tex]
едно уравнение от 3та степен има 3 комплексни корена. от тях или 2 са комплексно спрегнати и един реален или и трите са реални. така че предполагам под точно две решения се има предвид да имаме двоен корен и още един реален, като е възможно да имаме троен корен или двоен и трети различен от двойния. Може да се използват производни - че [tex]f(x_0)=f'(x_0)[/tex] за да имаме двоен корен [tex]x_0[/tex]. Но в случая ще използваме формулите на виет:
Нека корените са [tex]x_1, x_1, x_2[/tex]. От формулите на Виет намираме:
[tex]2x_1+x_2=-\frac{3}{2}[/tex]
[tex]x_1^2+2x_1x_2=-6[/tex]
[tex]x_1^2x_2=-\frac{p}{2}[/tex]
Решаваме 1вите 2 уравнения като система: [tex]t=x_1[/tex]=>[tex]t^2+2t(-\frac{3}{2}-2t)=-6 \Leftrightarrow -3t^2-3t = -6 \Leftrightarrow t^2+t-2=0[/tex]. Оттук намираме 2 стойнсоти за [tex]x_1[/tex]. С която и да заместим в последното уравнение => [tex]p[/tex].