Уравнение

[Евва]

[tex]\sqrt{15x^{2}+6х+4}[/tex]-[tex]\sqrt{10x^{2}+4х+2}[/tex]=1

Отговор: 1

[pal702004]

$y=5x^2+2x+1,\;\;y>0$

$\sqrt{3y+1}=1+\sqrt{2y}$

$x_1=1,x_2=-\dfrac 7 5$

[S.B.]

[tex]\sqrt{15x^{2}+6х+4}[/tex]-[tex]\sqrt{10x^{2}+4х+2}[/tex]=1

Отговор: 1

$15x^{2} + 6x +4 > 0 $ за $\forall x \in R - ( D = -204 < 0,a = 15>0)$
$10x^{2} + 4x + 2 > 0 $ за $ \forall x\in R - ( D = - 64 < 0 ,a = 10 >0)$

[tex]\sqrt{3(5x^{2} + 2x) + 4} - \sqrt{2(5x^{2} + 2x) + 2} = 1[/tex]

Полагам $5x^{2} + 2x = y$ замествам в уравнението и получавам:[tex]\sqrt{3y + 4} - \sqrt{2y + 2} = 1[/tex] Д.М. за $ y > - 1$

[tex]\sqrt{3y + 4} = 1 + \sqrt{2y + 2} \Leftrightarrow 3y + 4 = 1 + 2\sqrt{2y + 2} + 2y + 2 \Leftrightarrow y + 1 = 2\sqrt{2y + 2} \Leftrightarrow y^{2} + 2y +
1 = 8y + 8 \Leftrightarrow y^{2} - 6y - 7 = 0[/tex] с корени $y_{1 } = -1 \notin$ Д.М.,$y_{2 } = 7 \in$ Д.М.;

Връщам субституцията: $5x^{2} + 2x = 7 \Leftrightarrow 5x^{2} + 2x -7 = 0 ,D = 144 ,x_{1,2 }= \frac{- 2 \pm 12}{10}$
$x_{1 } = -1,4 , x_{2 } = 1$
При непосредствена проверка за $x = - 1,4$ се получава $\sqrt{5,4} - 4 \ne 1 \Rightarrow - 1,4 $ не е решение;
За $x = 1 $ се получава $\sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1 \Rightarrow x = 1$ е решение

[pal702004]

При непосредствена проверка за $x = - 1,4$ се получава $\sqrt{5,4} - 4 \ne 1 \Rightarrow - 1,4 $ не е решение

Я пак

[Евва]

Извинявам се,числото -[tex]\frac{7}{5}[/tex] също е корен .
Интересното е ,че има съвсем друг начин на решаване .

Ще помоля да дадем зелена светлина на кандидат-студентите,а другите да изчакаме .

[S.B.]

При непосредствена проверка за $x = - 1,4$ се получава $\sqrt{5,4} - 4 \ne 1 \Rightarrow - 1,4 $ не е решение

Я пак

Прав си pal702004! [tex]15.1.96 - 6.1.4 +4 = 29,4 - 8,4 + 4 = 25[/tex] $\Rightarrow x_{1 } = 1,x_{2 } = - 1,4$ са корените на уравнението

[Nathi123]

Двата корена са дефинирани за всяко реално х. [tex]\sqrt{15x^{2}+6x+4}-\sqrt{10x^{2}+4x+2}=1\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\sqrt{3(5x^{2}+2x)+4}=1+\sqrt{2(5x^{2}+2x)+2}[/tex]; да означим [tex]\sqrt{2(5x^{2}+2x)+2} = y\Rightarrow y>0;[/tex]
[tex]2(5x^{2}+2x)=y^{2}-2\Rightarrow 5x^{2}+2x=\frac{y^{2}-2}{2}\Rightarrow \sqrt{\frac{3(y^{2}-2)}{2}+4}=1+y[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{3y^{2}+2}{2}=1+2y+y^{2}\Leftrightarrow 3y^{2}+2=2+4y+2y^{2}\Leftrightarrow y^{2}-4y=0\Leftrightarrow[/tex]
[tex]y=0 \notin D_{y }\cup y=4\Rightarrow 5x^{2}+2x=7\Leftrightarrow 5x^{2}+2x-7=0\Leftrightarrow x=1\cup x=-\frac{7}{5}[/tex].

[Евва]

S.B. не е ощетила кандидат-студентите .
За тях ще споделя,че другия начин е-да положим
u=[tex]\sqrt{15x^{2}+6x+4}[/tex] и v=[tex]\sqrt{10x^{2}+4x+2}[/tex]
и така ще преминем към система от 2 ур-я с 2 неизвестни .
В системата няма да има корен кв.