За любителите на уравненията

[S.B.]

Да се реши уравнението:
$$\sqrt{x} = x^{2} - 6x + 6$$

[Davids]

Brute force решението

Определяме ДС: $x \in [0; 3 - \sqrt{3}] \cup [3 + \sqrt{3}; +\infty)$

Повдигаме на втора (с ясното съзнание, че ще получим още две грешни решения), опростяваме и достигаме до:
$x^4 - 12x^3 + 48x^2 - 73x + 36 = 0$

По Хорнер намираме две решения $x = 1$ и $x = 4$:
$(x-1)(x-4)(x^2 - 7x + 9) = 0$

От квадратния тричлен намираме и другите две решения: $x = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}$.

От общо четирите само две попадат в ДС и те са $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{7 + \sqrt{13}}{2}$

[123a]

Davids, пак тръгваш ирационално!

Полагаме [tex]\sqrt{x}=y, x\ge0, y\ge0=> x=y^2, x^2=y^4[/tex]

Тогава имаме

$y^4-6y^2-y+6=0$

$y(y^3-1)-6(y^2-1)=0$

$y(y-1)(y^2+y+1)-6(y+1)(y-1)=0=>(y-1)(y^3+y^2-5y-6)=0$

По Хорнер се вижда, че $y=-2$ е корен на кубичното уравнение, което пък на нас не ни върши работа. Тогава имаме

$(y-1)(y^2-y-3)=0$

Оттук $y=1; y_{1}=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$. Връщаме се към полагането и получаваме $x=1;x=\frac{7+\sqrt{13}}{2}$

[S.B.]

Може с малка "гимнастика" да се мине и без Хорнер:
$y^{3 } + y^{2} -5y - 6 =$
$ = y^{3} + 2y^{2} - y^{2} - 2y - 3y - 6 =$
$ = y^{2}(y + 2) - y(y + 2) - 3(y + 2) =$
$ = (y + 2)(y^{2} - y - 3) = 0$
По - нататък е ясно...