Помощ относно уравнение където трябва да намеря 3те решения

[konstantin1010]

За кой стойности на параметъра a уравнението x^{3} -3x+a= 0 има три различни решения.
Мислех си това да го реша като параметрично уравнение и да изразя параметъра да е равен на нула и ще получа 3 корена, но задачата ми се струва много лесна по този начин, а ако направя параметъра да е различен от 0 няма да знам как да се реши задачата.
Благодаря предварително !

[Davids]

Представяме си графиката на една кубична функция от този вид и знаем, че има два локални екстремума. За да има три реални решения, то графиката трябва три пъти да пресича абсцисата на различни места, т.е. искаме единият екстремум да е с положителен знак, а другият - с отрицателен. За целта намираме $x$-координатите им:
$f(x) = x^3 - 3x + a$
$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) \Rightarrow$ екстремуми се достигат при $x = \pm 1$, понеже и производната си сменя знака.

Попълваме в горното разсъждение: $3f(1).f(-1) = 3(1 - 3 + a)(-1 + 3 + a) < 0$
$\Leftrightarrow (a + 2)(a - 2) < 0$
$\Leftrightarrow a \in (-2; 2)$ е търсеният отговор.

[S.B.]

За кой стойности на параметъра a уравнението x^{3} -3x+a= 0 има три различни решения.
Мислех си това да го реша като параметрично уравнение и да изразя параметъра да е равен на нула и ще получа 3 корена, но задачата ми се струва много лесна по този начин, а ако направя параметъра да е различен от 0 няма да знам как да се реши задачата.
Благодаря предварително !

И още един поглед върху задачата:
[tex]x^{3} - 3x + a = 0 \Leftrightarrow a(x) = 3x - x^{3} , x\in ( - \infty ; + \infty)[/tex]
[tex]a'(x) = 3 - 3x^{2} = 3(1 - x^{2}) = 3(1 + x)(1 - x) \ge 0[/tex]
$x \in (-\infty , - 1) ,a(x) $ намалява ,
$x \in (- 1 ; + 1) ,a(x) $ расте ,
$x\in (1 ; +\infty) ,a(x) $ намалява;
За $x = \mp 1 , a(x) $ достига екстремалните си стойности : за $x = - 1$ минимум , за $x= +1$ - максимум
$a_{min } = a( - 1) = -2 ,a_{max } = a(1) = 2$
$\Rightarrow a\in ( - 2 ; 2)$

[S.B.]

Без заглавие (58).png (508.09 KiB) Прегледано 806 пъти

За кой стойности на параметъра a уравнението x^{3} -3x+a= 0 има три различни решения.
Мислех си това да го реша като параметрично уравнение и да изразя параметъра да е равен на нула и ще получа 3 корена, но задачата ми се струва много лесна по този начин, а ако направя параметъра да е различен от 0 няма да знам как да се реши задачата.
Благодаря предварително !

И още един поглед върху задачата:
[tex]x^{3} - 3x + a = 0 \Leftrightarrow a(x) = 3x - x^{3} , x\in ( - \infty ; + \infty)[/tex]
[tex]a'(x) = 3 - 3x^{2} = 3(1 - x^{2}) = 3(1 + x)(1 - x) \ge 0[/tex]
$x \in (-\infty , - 1) ,a(x) $ намалява ,
$x \in (- 1 ; + 1) ,a(x) $ расте ,
$x\in (1 ; +\infty) ,a(x) $ намалява;
За $x = \mp 1 , a(x) $ достига екстремалните си стойности : за $x = - 1$ минимум , за $x= +1$ - максимум
$a_{min } = a( - 1) = -2 ,a_{max } = a(1) = 2$
$\Rightarrow a\in ( - 2 ; 2)$

Представям графиката на функцията [tex]a(x) = - x^{3} +3x[/tex]
В интервала [tex]a \in (- 2 ; 2)[/tex] се виждат трите решения : $ x_{1 } = -1 ,x_{2 } = 0 ,x_{3 } = 1$

Скрит текст: покажи

Извинявам се,че още снощи не го показах,но имах проблеми с интернета