Състема с две неизвестни от втора степен

[gagwgwfw]

Може ли помощ за следната задача?
[tex]\begin{array}{|l} x² + y = 20 \\ x + y²= 20 \end{array}[/tex]

[Davids]

Може ли помощ за следната задача?
[tex]\begin{array}{|l} x² + y = 20 \\ x + y²= 20 \end{array}[/tex]

От първото уравнение изразяваме $y = 20 - x^2$ и заместваме във второто:
$x + (20 - x^2)^2 = 20$
$\Leftrightarrow x^4 - 40x^2 + x + 380 = 0$

Сега интересното идва тук: как да факторизираме дадения полином?
Един вариант е схемата на Хорнер и в случая ще проработи, защото имаме два целочислени корена: $x = 4$ и $x = -5$.

Друг вариант е да умуваме за хитро групиране, но шансът да се сетиш там е малък...

Та така, разлагаме на множители според получените по схемата на Хорнер корени и получаваме:
$\left(x-4\right)\left(x+5\right)\left(x^2-x-19\right) = 0$

По класическия начин решаваме квадратния тричлен най-отдясно и получаваме и другата двойка хиксове. Накрая заместваме и за $y$ и получаваме четири двойки решения. Ще оставя на теб по-нататък.

[S.B.]

Може ли помощ за следната задача?
[tex]\begin{array}{|l} x² + y = 20 \\ x + y²= 20 \end{array}[/tex]

Още един поглед върху системата

[tex]\begin{array}{|l} x^{2} + y = 20 \\ x + y^{2} = 20 \end{array}[/tex]

Изваждаш почленно и получаваш:
$x^{2} + y - x - y^{2} = 0 \Leftrightarrow (x^{2} - y^{2}) - (x - y) = 0 \Leftrightarrow (x - y)(x + y) - (x - y) = 0 \Leftrightarrow (x - y)(x + y - 1)=0$
От $(x - y)(x + y - 1) = 0 \Rightarrow x-y = 0 \cup x + y - 1 = 0$
Сега всяко от получените уравнения комбинираш с едно от дадените уравнения (по избор) и образуваш две нови по-лесни за решаване системи :

[tex]\begin{array}{|l} x - y = 0 \\ x^{2} + y = 20 \end{array}[/tex] и [tex]\begin{array}{|l} x + y - 1 = 0 \\ x^{2} + y = 20 \end{array}[/tex]

1)$\begin{array}{|l} x - y = 0 \\ x^{2} + y = 20 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x = y \\ x^{2} + y = 20 \end{array} \Leftrightarrow x^{2} + x -20 = 0 , D= 81 ,x_{1 } = -5 , x_{2 } = 4$

$y_{1,2} = x_{1,2 } \Rightarrow y_{1 } = -5,y_{2 } = 4$

2)$\begin{array}{|l} x + y = 1\\ x^{2} + y = 20 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x = 1 - y \\ x^{2} + y = 20 \end{array} \Leftrightarrow x^{2} - x - 19 = 0 , D = 77 ,x_{3,4 } = \frac{1\pm\sqrt{77}}{2}$

$ y_{3,4 } =1 - x_{3,4 } \Rightarrow y_{3,4 }=1 - \frac{1\pm\sqrt{77}}{2}$