Полином

[b1ck0]

Даден е полинома [tex]P(x)[/tex], за който знаем:
1. [tex]P(1) = 1[/tex]

2. [tex]\frac{P(2x)}{P(x+1)} = 8 - \frac{56}{x+7}[/tex]

Да се намери: [tex]P(-1) = ?[/tex]

[martin123456]

не е ли [tex]-\frac{5}{21}[/tex]

[b1ck0]

Да отговора е толкова, но самото решение е по-интересно ...

[martin123456]

ти решил ли си я?

[b1ck0]

Аз успях да открия от коя степен е полинома [tex]P(x)[/tex], иначе имам решението, но то е доста особенно ...

[martin123456]

Нека [tex]p(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots + a_n[/tex].
[tex]\frac{p(2x)}{p(x+1)}=\frac{a_02^nx^n+a_12^{n-1}x^{n-1}+\ldots + a_n}{a_0(x^n+{n \choose 1}x^{n-1}+\cdots)+a_1(x^{n-1}+\cdots)+\cdots+a_n}=[/tex][tex]\frac{a_02^n+a_12^{n-1}\frac{1}{x}+\ldots + a_n}{a_0(1+{n \choose 1}\frac{1}{x}+\cdots)+a_1(\frac{1}{x}+\cdots)+\cdots+a_n} \rightarrow \frac{a_02^n}{a_0}=2^n[/tex]. От друга страна [tex]\frac{p(2x)}{p(x+1)}=\frac{8x}{x+7}=\frac{8}{1+\frac{7}{x}} \rightarrow 8[/tex]. Границите са взети за [tex]x \rightarrow \infty[/tex].ачи
Значи [tex]n=3[/tex], т.е. [tex]deg(p(x))=3[/tex].

[tex]x=0[/tex]=>[tex]\frac{p(0)}{1}=0[/tex]=>[tex]p(0)=0[/tex]=>[tex]p(x)=x(ax^2+bx+c)[/tex].
Решаваме уравнението [tex]\frac{2x(4x^2a+2xb+c)}{(x+1)(ax^2+2ax+a+bx+b+c)}=\frac{8x}{x+7}[/tex]=>[tex]b=8a[/tex], [tex]c=12a[/tex]. Като използваме [tex]p(1)=1[/tex]=>[tex]a=\frac{1}{21}[/tex]. Заместваме в [tex]p(-1)[/tex] и следва.

[martin123456]

нещо такова ли? или греша?

[b1ck0]

Ако се интересуваш мога да ти напиша оригиналното решение ...

[martin123456]

напиши го

[allier]

Може и по-лесно корените да се намерят - при x=-7 излиза P(-6)=0. После при x=-3, излиза P(-2)=0.

[b1ck0]

Ето го:

[martin123456]

разбрах го. те намират корени.

[b1ck0]

Сега и ако ми обясниш как ги намират тези корени ще е идеално

П.С: По-конкретно, аз разбрах как ги намират корените, но не мога да си обясня кое им дава право да ги откриват по този начин ?

[martin123456]

[tex](x+7)p(2x)=8xp(x+1)[/tex]
заместваме с 0 [tex]7p(0)=0[/tex]=>[tex]p(0)=0[/tex]=> 0 e корен на [tex]p(x)=0[/tex]=>от [tex]p(x)[/tex] има делител [tex]x-0=x[/tex]=>[tex]p(x)=xq(x)[/tex]
после те пишат: [tex](x+7)q(2x)=4(x+1)q(x+1)[/tex]. заместваме [tex]x=-1[/tex]=>[tex]6q(-2)=0[/tex]=>[tex]-2[/tex] е корен на [tex]q(x)=0[/tex]=>[tex]q(x)[/tex] има делител с вид [tex]x+2[/tex]. това значи че [tex]q(x)=(x+2)r(x)[/tex] и тн