Тригонометрично уравнение

[Гост]

Да се реши уравнението:
equationnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn[tex]|cos2xsin6x| + |cos6xsinx| = sin\frac{3\pi}{11}[/tex]

[Гост]

Извинявам се, уравнението е:
[tex]|cos2xsin6x| + |cos6xsin2x| = sin\frac{3\pi}{11}[/tex]

[Гост]

Извинявам се, уравнението е:
[tex]|cos2xsin6x| + |cos6xsin2x| = sin\frac{3\pi}{11}[/tex]

[vezni]

Нека [tex]f(x)=\left|\cos(2x)\sin(6x)\right|+\left|\cos(6x)\sin(2x)\right|[/tex].
[tex]f\left(x+\frac \pi 4\right)=\left|\cos\left(2x+\frac\pi 2\right)\sin\left(6x+\frac{3\pi}{2}\right)\right|+\left|\cos\left(6x+\frac{3\pi}{2}\right)\sin\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)\right|[/tex]
[tex]=\left|\sin(2x)\cos(6x)\right|+\left|\sin(6x)\cos(2x)\right|=f(x)[/tex]
Значи [tex]f(x)[/tex] има период [tex]\frac \pi 4[/tex] и е достатъчно да решим уравнението в интервала [tex]\left[-\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{8}\right][/tex].
Освен това [tex]f(-x)=f(x)[/tex], така че е достатъчно да решаваме в [tex]\left[0,\frac{\pi}{8}\right][/tex].
Първи случай: [tex]x\in\left[0,\frac{\pi}{12}\right][/tex]
Тогава [tex]\cos(2x),\sin(2x),\cos(6x),\sin(6x)\geq 0[/tex] и
[tex]f(x)=\cos(2x)\sin(6x)+\cos(6x)\sin(2x)=\sin(6x+2x)=\sin(8x)[/tex]
и уравнението става [tex]\sin(8x)=\sin\left(\frac{3\pi}{11}\right)[/tex]. Понеже [tex]0\leq 8x\leq \frac{2\pi}{3}<\frac{8\pi}{11}[/tex],
единственото решение в този случай е [tex]8x=\frac{3\pi}{11}\Leftrightarrow x=\frac{3\pi}{88}[/tex].
Втори случай: [tex]x\in\left[\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{8}\right][/tex]
Тогава [tex]\cos(2x),\sin(2x),\sin(6x)\geq 0,\cos(6x)\leq 0[/tex] и
[tex]f(x)=\cos(2x)\sin(6x)-\cos(6x)\sin(2x)=\sin(6x-2x)=\sin(4x)[/tex]
и уравнението се превръща в [tex]\sin(4x)=\sin\left(\frac{3\pi}{11}\right)[/tex]. Понеже [tex]\frac{3\pi}{11}<\frac{\pi}{3}\leq 4x\leq \frac{\pi}{2}<\frac{8\pi}{11}[/tex],
няма решения в този случай.
В крайна сметка решенията са [tex]x=\pm\frac{3\pi}{88}+k\frac{\pi}{4}\,\left(k\in\mathbb{Z}\right)[/tex].