Максимална стойност

[b1ck0]

Да се намери максималната стойност на [tex]x+y[/tex], за които знаем: [tex]x^2+y^2-3y-1=0[/tex]

[MasterZ]

можеш ли да пуснеш отговор за да разбера дали вярно съм разсъждавал иначе получих, че максималната стойност e [tex]\frac{\sqrt{26} }{ 4}[/tex] като изразявам x чрез y, от уравнението и намирам максималната стойност на функцията(y).

[Hena]

[tex]x^2=-y^2+3y+1 \Rightarrow y^2-3y-1\le 0 \Rightarrow y\in \left[\frac{3-sqrt{13}}{2};\frac{3+sqrt{13}}{2}\right][/tex]

[tex]\frac{x+y}{2}\le \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}[/tex].Равенство се достига когато [tex]x=y[/tex]
[tex]\Rightarrow (x+y)_{max}=y_{max}=\frac{3+sqrt{13}}{2}[/tex]

[b1ck0]

[tex]x^2 + y^2 - 3y -1 = 0[/tex]
горното уравнение може да се запише по следния начин:
[tex]x^2 + \left( y - \frac{3}{2} \right) ^2 = \frac{13}{4}[/tex]
това всъщност това е уравнение на окръжност с център [tex]A \left(0; \frac{3}{2} \right)[/tex] и радиус [tex]\frac{\sqrt{13}}{2}[/tex]
преминаваме в полярни координати:
[tex]x=\frac{\sqrt{13}}{2}.cos \theta[/tex] и [tex]y=\frac{sqrt{13}}{2}.sin \theta + \frac{3}{2}[/tex]

[tex]x+y = \frac{\sqrt{13}}{2}.cos \theta + \frac{sqrt{13}}{2}.sin \theta + \frac{3}{2}[/tex]

[tex]x+y = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \left( cos \theta + sin \theta \right)[/tex]

[tex]x+y = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} . sqrt{2} . sin \left( \theta + \frac{ \pi}{4} )[/tex]
горното равенство достига своя максимум при [tex]\theta = \frac{\pi }{4}[/tex], [tex]sin90 = 1[/tex]
[tex]x+y = \frac{3+ \sqrt{26}}{2}[/tex]

[Станислав]

[tex]\frac{x+y}{2}\le \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}=\sqrt{\frac{3y+1}{2}}\le \sqrt{\frac{3(3+sqrt{13})+2}{4}}=\frac{sqrt{11+3\sqrt{13}}}{2} \Rightarrow x+y\le \frac{\sqrt{26}+\sqrt{18}}{2}[/tex]

Хитро, но грешно. Кога се достига равенство при СА-СК?