Уравнение с параметър

[Гост]

Здравейте!

Може ли помощ с едно параметрично уравнение.

[tex]\sqrt{x-3} + \sqrt{x-7}[/tex] = a

Благодаря!

[Евва]

[tex]\sqrt{х-3}[/tex]+[tex]\sqrt{x-7}[/tex]=а
полагаме [tex]\sqrt{x-3}[/tex]=m , [tex]\sqrt{x-7}[/tex]=n

[tex]\begin{array}{|l} m + n = a \\ m^{2}-n^{2} = 4 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} m = a-n \\ m^{2}-n^{2} = 4 \end{array}[/tex]

[tex]a^{2}[/tex]-2an+[tex]n^{2}[/tex]-[tex]n^{2}[/tex]=4

n=[tex]\frac{a^{2}-4}{2a}[/tex]

Скрит текст: покажи

Няма нужда да търсим m.

[tex]\sqrt{x-7}[/tex]=[tex]\frac{а^{2}-4}{2а}[/tex]

х-7=[tex]\frac{а^{4}-8а^{2}+16}{4а^{2}}[/tex]

х=[tex]\frac{а^{4}+20а^{2}+16}{4а^{2}}[/tex]

Отговор:При а[tex]\le[/tex]0 няма решение ,при а>0 [tex]\frac{а^{4}+20а^{2}+16}{4а^{2}}[/tex]

[pal702004]

при а>0

При $a\ge 2$

[Гост]

Може ли обяснение относно това а>=2. Нали a трябва да е по-голямо от 0 от ДМ. Благодаря!

[Davids]

Може ли обяснение относно това а>=2. Нали a трябва да е по-голямо от 0 от ДМ. Благодаря!

Имаш $n = \frac{a^2-4}{2a} = \sqrt{x-7}$. Дясната страна е радикал, значи и лявата трябва да е $\ge 0$. Та оттам.

[Гост]

А защо като въведа в desmos сайта \left(x-3\right)^{\frac{1}{2}}+\left(x-7\right)^{\frac{1}{2}}=2 ми дава, че няма корени. Като цяло разбирам задачата и ви благодаря, но не мога да оправя ДС. Защо никъде не отчитаме, че x>=7. После да го сравним с израза, който съдържа а^4... Тенкс!

[Knowledge Greedy]

Може ли обяснение относно това а>=2. Нали a трябва да е по-голямо от 0 от ДМ. Благодаря!

Тъй като дефиниционното множество се опрределя от [tex]\begin{array}{|l} x - 3 \ge 0 \\ x - 7 \ge 0 \end{array} \,\ \Rightarrow \,\ x\ge 7[/tex]

Но когато [tex]x\ge 7 \,\ \Rightarrow \,\ \sqrt{x-3}+\sqrt{x-7} \ge \sqrt{7-3} +0 =2[/tex]

Последното означава, че е необходимо [tex]a\ge 2[/tex]

(Това е отбелязал pal702004 в началото и Davids също.)

А отговора на Евва ще приемем при [tex]a<2[/tex] - липса на реални решения и при [tex]a\ge 2[/tex] - полученият с формулата.

[Гост]

Много съм благодарен за изчерпателния отговор! Начертах графиката и там се вижда, че а>=2. Скоро пак може да пусна някои интересни задачки. Поздрави, колеги!